閉無界集

數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（Template:Lang-en）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。

嚴格定義

嚴格而言，若$\kappa$為極限序數，則集合$C\subseteq \kappa$為閉當且僅當對每個$\alpha <\kappa$，若$\sup (C\cap \alpha )=\alpha \ne 0$，則$\alpha \in C$。因此，若$C$中，某序列的極限小於$\kappa$，則該極限也在$C$中。Template:Rp

若$\kappa$為極限序數，且$C\subseteq \kappa$，則$C$稱為在$\kappa$中無界，意思是對任意$\alpha <\kappa$，皆有$\beta \in C$使$\alpha <\beta$。

若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類$\mathrm{O}\mathrm{n}$中無界）。

例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數$\alpha <\kappa$構成的集合是$\kappa$的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是Template:LeTemplate:Rp（即遞增且連續的函數）的值域。

更一般地可以定義何種$C\subseteq [X{]}^{\lambda }$為閉無界集。若$X$非空，$\lambda$為基數，且$X$中每個大小小於$\lambda$的子集都包含於$C$$C$的某個元素中，則$C$稱為閉無界集。（參見Template:Le）

閉無界濾子

設$\kappa$為極限序數，且其共尾性$\lambda$不可數。對$\alpha <\lambda$，設$⟨C_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$為$\kappa$的一列閉無界子集，則$\bigcap _{\xi <\alpha }{C}_{\xi }$也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意${\beta }_0<\kappa$，又對每個$n<\omega$，從每個$C_{\xi }$中，選取元素${\beta }_{n+1}^{\xi }>{\beta }_n$（可以如此選取，因為每個$C_{\xi }$都無界）。由於此為少於$\lambda$個序數，且每個都小於$\kappa$，其上確界也必小於$\kappa$，稱其為${\beta }_{n+1}$。如此，得到可數序列${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots$，其極限同樣會是序列${\beta }_0^{\xi },{\beta }_1^{\xi },{\beta }_2^{\xi },\dots$的極限，而由於每個$C_{\xi }$皆為閉，且$\lambda$不可數，後者的極限必在$C_{\xi }$中，所以$({\beta }_n)$的極限是上述交集的元素，且大於${\beta }_0$，但${\beta }_0$為任意，故交集無界，即為所求證。Template:Rp

由此可見，若$\kappa$為Template:Le，則閉無界集生成$\kappa$上的非主$\kappa$完備濾子。該濾子可以符號表示成$\{S\subset \kappa :\mathrm{\exists }C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,$ 且$C$是$\kappa$中的閉無界集$\}$。

若$\kappa$為正則基數，則閉無界集關於Template:Le亦是封閉的。Template:Rp

反之，若$\kappa$正則，而$ℱ$為$\kappa$上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如$\{\xi <\kappa :\xi \ge \alpha \}$（其中$\alpha <\kappa$）的集合皆為$ℱ$的元素，則所有閉無界集均屬於$ℱ$。

參見

• Template:Le
• Template:Le
• Template:Le

參考資料

• Template:Cite book

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