鑒相器特性函數

鑒相器特性函數（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述鉴相器的輸出。

在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性。 若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。 鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。

鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真。

類比乘法器的鑒相器特性

考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。

相域—頻域下的鑒相器

此處$f^1({\theta }^1(t))$ and $f^2({\theta }^2(t))$是高頻信號，分段可微函數$f^1(\theta )$, $f^2(\theta )$是輸入信號的波形，${\theta }^{1,2}(t)$是相位，而$g(t)$是濾波器的輸出。

若$f^{1,2}(\theta )$和${\theta }^{1,2}(t)$滿足高頻條件（高頻條件在），則 鑒相器特性函數$\varphi (\theta )$會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出

$g(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}^1({\theta }^1(t))f^2({\theta }^2(t))dt$

和相域—頻域模型的濾波輸出

$G(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi ({\theta }^1(t)-{\theta }^2(t))dt$

幾乎相等

$g(t)-G(t)\approx 0$

弦波輸入

考慮簡單的弦波輸入$f^1(\theta )=\sin (\theta ),$ $f^2(\theta )=\cos (\theta )$以及積分器濾波器。

$\sin ({\theta }^1(t))\cos ({\theta }^2(t))=\frac{1}{2}\sin ({\theta }^1(t)+{\theta }^2(t))+\frac{1}{2}\sin ({\theta }^1(t)-{\theta }^2(t))$

標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號$\sin ({\theta }^1(t)+{\theta }^2(t))$，不改變其低頻訊號$\sin ({\theta }^1(t)-{\theta }^2(t))$。

因此，其弦波訊號的鑒相器特性為

$\phi (\theta )=\frac{1}{2}\sin (\theta ).$

方波輸入

考慮高頻方波信號$f^1(t)=\mathrm{sgn}(\sin ({\theta }^1(t)))$ and $f^2(t)=\mathrm{sgn}(\cos ({\theta }^2(t)))$。 針對此訊號，已有論文研究出類似的結果 。 方波訊號的鑒相器特性為

$\phi (\theta )=\{\begin{array}{cc}1+\frac{2\theta }{\pi },& \text{if }\theta \in [-\pi ,0],\\ 1-\frac{2\theta }{\pi },& \text{if }\theta \in [0,\pi ].\end{array}$

一般輸入訊號

考慮一般情形的片段連續輸入信號$f^1(\theta )$, $f^2(\theta )$。

輸入信號可以展開為傅立葉級數，$f^1(\theta )$和$f^2(\theta )$傅立葉級數的係數如下：

$a_i^p=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^p(x)\sin (ix)dx,$$b_i^p=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^p(x)\cos (ix)dx,$$c_i^p=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^p(x)dx,p=1,2$

鑒相器特性為

$\phi (\theta )=c^1{c}^2+\frac{1}{2}\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}((a_l^1{a}_l^2+b_l^1{b}_l^2)\cos (l\theta )+(a_l^1{b}_l^2-b_l^1{a}_l^2)\sin (l\theta )).$

顯然，鑒相器特性$\phi (\theta )$是在$ℝ$內的週期性、連續有界函數。

有些專利是有關此分析方式的結果。