錐狀分布

在數學上，錐狀分布（Cone-shaped distribution function）是科恩克萊斯分佈系列函數中的一種。錐狀分布於西元1991年由 Yunxin Zhao、Les E. Atlas 和 Robert J. Marks 提出。本分布之核心函數 $\varphi (t,\tau )$ 於$t,\tau$ 域之分布形似錐狀，故得名。

定義

錐狀分布的定義如下

$C_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_x(\eta ,\tau )\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )\exp (j2\pi (\eta t-\tau f))d\eta d\tau$

其中

$A_x(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }dt$

其核心函數 $\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )$ 定義為

$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )=\frac{\sin \left(\pi \eta \tau \right)}{\pi \eta \tau }\exp (-2\pi \alpha {\tau }^2)$

其中 $\alpha$ 為一可調整之參數。

由 $\varphi (t,\tau )={ℱ}^{-1}\left[\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )\right]$ 可得

$\varphi (t,\tau )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\tau }\exp (-2\pi \alpha {\tau }^2),& |\tau |\ge 2|t|,\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

下圖為錐狀分布之核心函數於 $t,\tau$ 域之大小分布

下列圖形為錐狀分布之核心函數於 $\eta ,\tau$ 域不同 $\alpha$ 值時之大小分布

觀察上圖可知，我們可以透過選取適當的 $\alpha$ 值得到適合的 $\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )$ 以濾除掉延 $\tau$ 軸的雜訊或干擾。

優缺點

當輸入信號由二具有相同或相近中心頻率的成分組成，使用錐狀分布作為核心函數可以完全濾除交叉項。相反地，本分布無法濾除當輸入信號由二具有相同或相近中心時間的成分組成所形成之交叉項。

相似條目

• 崔-威廉斯分布

參考項目

• Time frequency analysis and wavelet transform class notes Template:Wayback, Jian-Jiun Ding, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• S. Qian and D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications, Chap. 5, Prentice Hall, N.J., 1996.
• H. Choi and W. J. Williams, “Improved time-frequency representation of multicomponent signals using exponential kernels,” IEEE. Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 37, no. 6, pp. 862–871, June 1989.
• Y. Zhao, L. E. Atlas, and R. J. Marks, “The use of cone-shape kernels for generalized time-frequency representations of nonstationary signals,” IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 38, no. 7, pp. 1084–1091, July 1990.