量子傅立葉變換

Template:NoteTA Template:傅里叶变换 量子傅立葉變換（quantum Fourier transform）是一種離散傅立葉變換，將原式分解成更為簡單的多個么正矩陣的積。利用這般的分解方式，離散傅立葉變換可以用作量子電路，其包含了多個哈達瑪閘與受控移相閘。

量子傅立葉變換在量子演算法中有多處應用，以其可提供相位估算步驟的理論基礎，在一些演算法中佔核心地位，例如用在做質因數分解的秀爾演算法（Shor's algorithm）、順序發現(order finding)演算法以及隱子群問題（hidden subgroup problem）。

細節

l²(Z/(N))是複數值函數於Z/N 的內積空間，伴有內積

$⟨\psi |\varphi ⟩=\sum _{k\in \mathbb{Z}/(N)}\overline{\psi (k)}\varphi (k)$

注意到離散傅立葉變換是個么正映射

${\ell }^2(\mathbb{Z}/(N))\to {\ell }^2(\mathbb{Z}/(N)).$

其敘述如下：

令$|0⟩,\dots ,|N-1⟩$是l²(Z/(N))的一項正交歸一基底(orthonormal basis)

參考文獻

• Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge, UK, 2000)
• K. R. Parthasarathy, Lectures on Quantum Computation and Quantum Error Correcting Codes (Indian Statistical Institute, Delhi Center, June 2001)
• John Preskill, Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation (CIT, September 1998)