量值條件

根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件

量值條件（magnitude condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關量值的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件。量值條件和角度條件可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為$1+\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=0$，而$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}$，可改寫為以下各因式相乘的形式

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2)\cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots (s-b_m)},$，

則量值條件是指找到K值使下式成立：

$|G(s)H(s)|=1$

也就是說

$K\frac{|s-a_1||s-a_2|\cdots |s-a_m|}{|s-b_1||s-b_2|\cdots |s-b_n|}=1$.

推導

令$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}$。

將$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)$改寫為各因式相乘的形式

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2)\cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots (s-b_m)},$

量值條件即是

$\frac{|\mathbf{\text{P}}(s)|}{|\mathbf{\text{Q}}(s)|}=1$

也就是

$K\frac{|s-a_1||s-a_2|\cdots |s-a_n|}{|s-b_1||s-b_2|\cdots |s-b_m|}=1,$

若將控制方程改為極坐標表示：

$e^{j2\pi }+\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=0$

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}$其中 $(k=0,1,2,...)$，這些是方程式所有的解。

將每一個因子$(s-a_p)$及$(s-b_q)$都用等效的向量$A_p{e}^{j{\theta }_p}$及$B_q{e}^{j{\varphi }_q}$來表示，因此 $\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)$可以再作整理。

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n)}}{B_1{B}_2\cdots B_m{e}^{j({\varphi }_1+{\varphi }_2+\cdots +{\varphi }_m)}}$

簡化特徵方程式。

$\begin{array}{cc}{e}^{j(\pi +2k\pi )}& =K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n)}}{B_1{B}_2\cdots B_m{e}^{j({\varphi }_1+{\varphi }_2+\cdots +{\varphi }_m)}}\\ & =K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n}{B_1{B}_2\cdots B_m}{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n-({\varphi }_1+{\varphi }_2+\cdots +{\varphi }_m))},\end{array}$

因此可以推導出另一個形式的量值條件：

$1=K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n}{B_1{B}_2\cdots B_m}.$

也可以用類似的方式推導角度條件。