部分等距映射

在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。

其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子 $W$ 的始、终子空间分别记作 $ℐW,ℱW$ 。

一般定义

部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 $H_1$ 是希尔伯特空间 $H$ 的一个闭子集 ，而 $U$ 是 $H_1$ 上的等距映射，则我们可以定义 $U$ 到 $H$ 的一个扩张 $W$ ， $W$ 在 $H_1$ 的正交补上的值为零。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。

基于Template:Le，可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。

有限维情况的特性

在有限维向量空间中，矩阵 $A$ 是一个部分等距当且仅当 $A^{*}A$ 是到其支撑集的投影。相比之下，等距映射的定义是更强的：矩阵 $V$ 是一个等距映射当且仅当 $V^{*}V=I$ 。换句话说，等距对称是一种单射的部分等距映射。

通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如 $A=\left(\begin{array}{cc}V& 0\end{array}\right)$ 的矩阵，也就是说，其前 $\mathrm{rank}(A)$ 列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。

注意对于任何等距映射 $V$ ，其埃尔米特共轭 $V^{*}$ 都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。

算子代数

在算子代数中，可用下面的方式Template:Explain引入始子空间和终子空间：

$ℐW:=ℛW^{*}W,ℱW:=ℛW{W}^{*}.$

C*-代数

对于C*-代数，由于C*-性质，存在等价链：

$(W^{*}W{)}^2=W^{*}W⟺W{W}^{*}W=W⟺W^{*}W{W}^{*}=W^{*}⟺(W{W}^{*}{)}^2=W{W}^{*}$

因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为 $W^{*}W,W{W}^{*}$ 。

一对按等价关系划分Template:Explain的投影：

$P=W^{*}W,Q=W{W}^{*}$

它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。

几类重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距：

$P:\mathscr{H}\to \mathscr{H}:ℐP=ℱP$

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距：

$J:\mathscr{H}\hookrightarrow 𝒦:ℐJ=\mathscr{H}$

幺正算子

任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距：

$U:\mathscr{H}\leftrightarrow 𝒦:ℐU=\mathscr{H},ℱU=𝒦$

例子

幂零矩阵

在二维复希尔伯特空间上的矩阵

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

是一个部分等距，其始子空间为

$\{0\}\oplus ℂ$

而终子空间为

$ℂ\oplus \{0\}.$

一般有限维示例

有限维中的其他可能例子有$$A\equiv \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是 ${𝐞}_1\equiv (1,0,0)$ 和 $\frac{1}{\sqrt{2}}({𝐞}_2+{𝐞}_3)\equiv (0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ 的线性生成空间，若将 $A$ 限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证 $A^{*}A={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{supp}(A)}$ ，也就是说 $A^{*}A$ 是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如，$$A\equiv \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$该矩阵的支撑集由 ${𝐞}_1\equiv (1,0,0)$和${𝐞}_2+{𝐞}_3\equiv (0,1,1)$ 张成，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的恒等映射）。

还有一个例子$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$这次 $A$ 在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。

容易验证 $A{𝐞}_1={𝐞}_2$ 以及 $A\left(\frac{{𝐞}_2+{𝐞}_3}{\sqrt{2}}\right)={𝐞}_1$ ，这表明了 $A$ 在其支撑集 $\mathrm{span}(\{{𝐞}_1,{𝐞}_2+{𝐞}_3\})$ 与其值域 $\mathrm{span}(\{{𝐞}_1,{𝐞}_2\})$ 间的等距性质。

左平移和右平移

平方可和序列空间上的左平移和右平移算子

$R:{\ell }^2(\mathbb{N})\to {\ell }^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\dots )\mapsto (0,x_1,x_2,\dots )$

$L:{\ell }^2(\mathbb{N})\to {\ell }^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\dots )\mapsto (x_2,x_3,\dots )$

有下列关系

$R^{*}=L.$

而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成

$LR(x_1,x_2,\dots )=(x_1,x_2,\dots )$

其终子空间则是：

$RL(x_1,x_2,\dots )=(0,x_2,\dots ).$

参考资料

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外部链接

• 重要性质及证明
• 替代证明