连带勒让德函数

连带勒让德函数是连带勒让德多项式的推广。

下列连带勒让德方程的解，称为连带勒让德函数

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+[\lambda (\lambda +1)-\frac{{\mu }^2}{1-x^2}]y=0,$

第一类连带勒让德 函数

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2}),\text{for }|1-z|<2$

Associated Legendre P function

Associated Legendre P function

第二类连带勒让德函数

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{e^{i\mu \pi }(z^2-1{)}^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}),\text{for}|z|>1.$

Associated Legendre Q function

Associated Legendre Q function

Associated Legendre Q function

Associated Legendre Q function

Associated Legendre Q function

参考文献

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