超極限

數學上，超極限是幾何的構造法，對一個度量空間序列X_n指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫－豪斯多夫收斂。

超濾子

在自然數集$\mathbb{N}$上的超濾子ω，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加測度）$\omega :2^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}$，從自然數集的冪集$2^{\mathbb{N}}$映射到集合{0,1}上，使得$\omega (\mathbb{N})=1$。一個在$\mathbb{N}$上的超濾子ω 稱為非主要的，若對所有有限子集$F\subseteq \mathbb{N}$， 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

設ω是$\mathbb{N}$上的非主要超濾子。 若$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$是度量空間(X,d)上的點序列，x∈ X，稱x是x_n的ω -極限，記為$x=\underset{\omega }{\lim }{x}_n$，若對所有$ϵ>0$都有

$\omega \{n:d(x_n,x)\le ϵ\}=1.$

不難看出：

• 若一個點序列的ω-極限存在，則是唯一的。
• 若在標準意義下$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$，則$x=\underset{\omega }{\lim }{x}_n$。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）

若(X,d)緊緻，則每個點序列都存在ω-極限。故此，實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限

設ω是在$\mathbb{N}$上的非主要超濾子。設 (X_n,d_n) 是度量空間，有基點p_n∈X_n。

考慮序列$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$，其中x_n∈X_n。這個序列稱為容許的，若實數序列(d_n(x_n,p_n))_n有界，也就是存在正實數C，使得$d_n(x_n,p_n)\le C$。記容許序列的集合為$𝒜$。

由三角不等式可知對兩個容許序列$𝐱=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$及$𝐲=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$，序列(d_n(x_n,y_n))_n有界，因此存在ω-極限${\hat{d}}_{\mathrm{\infty }}(𝐱,𝐲):=\underset{\omega }{\lim }{d}_n(x_n,y_n)$。在$𝒜$中定義關係$\sim$如下：對$𝐱,𝐲\in 𝒜$，每當${\hat{d}}_{\mathrm{\infty }}(𝐱,𝐲)=0$時便有 $𝐱\sim 𝐲$。易知$\sim$ 是等價關係。

序列(X_n,d_n, p_n)關於ω的超極限是一個度量空間$(X_{\mathrm{\infty }},d_{\mathrm{\infty }})$，定義如下。

作為集合，有$X_{\mathrm{\infty }}=𝒜/\sim$。

對兩個容許序列$𝐱=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$及$𝐲=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$的$\sim$等價類$[𝐱],[𝐲]$，定義$d_{\mathrm{\infty }}([𝐱],[𝐲]):={\hat{d}}_{\mathrm{\infty }}(𝐱,𝐲)=\underset{\omega }{\lim }{d}_n(x_n,y_n).$

不難看到$d_{\mathrm{\infty }}$有良好定義，且為 $X_{\mathrm{\infty }}$上的度量。

記$(X_{\mathrm{\infty }},d_{\mathrm{\infty }})=\underset{\omega }{\lim }(X_n,d_n,p_n)$。