超平面

Template:NoteTA 在數學中，超平面（Hyperplane）是n維歐氏空間中，餘維度為1的子空間^[1]。即超平面是n維空間中的n-1維的子空間。它是平面中的直線、空間中的平面之推廣。

設 $F$ 為域（為初等起見，可考慮 $F = ℝ$ ）。n 維空間 $F^{n}$ 中的超平面是由方程

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = b

定義的子集，其中 $a_{1}, \dots, a_{n} \in F$ 是不全為零的常數。

在線性代數的脈絡下， $F$ -向量空間 $V$ 中的超平面是指形如

{v \in V : f (v) = 0}

的子空間，其中 $f : V \to F$ 是任一非零的線性映射。

在射影幾何中，同樣可定義射影空間 $ℙ^{n}$ 中的超平面。在齊次坐標 $(x_{0} : \dots : x_{n})$ 下，超平面可由以下方程定義

a_{0} x_{0} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

其中 $a_{0}, \dots, a_{n}$ 是不全為零的常數。

参见