貝西科維奇覆蓋定理

數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

定理敘述

若$ℱ$是${ℝ}^n$中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

$\sup \{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B):B\in ℱ\}<\mathrm{\infty }$

而A為當中的球的中心組成的集合。那麼$ℱ$中存在子集${𝒢}_1,\cdots ,{𝒢}_{N_n}$，每個${𝒢}_i$是可數多個互不相交的球的集合，而且

$A=\bigcup _{i=1}^{N_n}\bigcup _{B\in {𝒢}_i}B$

其中$N_n$是一個僅依賴於n的常數。

證明大概

先假設A是有界集合。依次選取球$B_i$

1. 選擇$B(a_1,r_1)\in ℱ$為$B_1$，適合條件$r_1\ge \frac{3}{4}\sup \{B(a,r)\in ℱ\}$
2. 若已選取$B_1,\cdots ,B_{j-1}$，$j\ge 2$。令$A_j:=A\setminus \underset{i=1}{\overset{j-1}{\cup }}{B}_i$。若$A_j=\varnothing$，就停止；若否，選擇$B(a_j,r_j)$為$B_j$，適合條件$r_j\ge \frac{3}{4}\sup \{B(a,r)\in ℱ,a\in A_j\}$

球$B_i$有以下性質

1. 以$B_i$的選取方法可知，若j > i，則$r_j\le \frac{4}{3}{r}_i$，$|a_i-a_j|>r_i$。
2. 將全部球$B_i$的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球$B(a_i,r_i/3)$互不相交。
3. 若有可數無限多球$B_i$，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球$B_i$的半徑趨向0。
4. $A\subset {\cup }_i{B}_i$。若$B_i$數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有$a\in A\setminus {\cup }_i{B}_i$，那麼$ℱ$中有球$B(a,r)$，而從上一性質知，對足夠大的j，有$r_j<(3/4)r$，與$B_j$的選取條件矛盾。

對k > 1，估算$B_k$和多少個之前選擇的球$B_i$相交。先將這樣的$B_i$按半徑$r_i$分成兩組：$r_i\le 3r_k$為第一組，$r_i>3r_k$為第二組。

對第一組的球$B_i=B(a_i,r_i)$，將其縮小成$B(a_i,r_i/3)$後包含在$B(a_k,5r_k)$中。$B(a_i,r_i/3)$之間互不相交，故總體積不超過$B(a_k,5r_k)$的體積。又因$r_i\ge (3/4)r_k$，因此$B(a_i,r_i/3)$相對$B(a_k,5r_k)$的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球$B_i$,$B_j$。考慮以$a_i$,$a_j$,$a_k$作頂點的三角形。因$B_i$,$B_j$都和$B_k$相交，又$a_k$不在$B_i$,$B_j$之內，故有不等式

$r_i<|a_i-a_k|<r_i+r_k$

$r_j<|a_j-a_k|<r_j+r_k$

欲證出此三角形以$a_k$為頂點的角$\theta$，不小於一常數。可以假設$a_i{a}_k$邊長不大於$a_j{a}_k$邊長。如果$a_i$不在$B_j$內，則$a_i{a}_j$邊長大於$r_j$。若$a_i{a}_j$邊長不小於$a_j{a}_k$邊長，則$a_i{a}_j$為三角形中最長的邊，所以$\theta$不小於$\pi /3$。若$a_i{a}_j$邊長小於$a_j{a}_k$邊長，以平面幾何可證得這情形時$\theta$不小於arccos(5/6)。如果$a_i$在$B_j$內，必有i < j，故$r_j\le (4/3)r_i$，且$a_j$不在$B_i$內，因此$a_i{a}_j$邊長大於$r_i$。可證得這情形時$\theta$不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出$\theta$的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和$a_k$之間連成直線，則任意兩條直線之間在$a_k$的夾角不小於arccos(61/64)。$a_k$為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。

$B_k$和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為$M_n$。現在從$B_1$開始依次把球放到子集${𝒢}_i$內。輪到$B_k$時，因為之前的球中最多有$M_n-1$個和$B_k$相交，因此在$M_n$個子集${𝒢}_i$中，必定有至少一個所包含的球都不和$B_k$相交，於是可以把$B_k$加進這個子集。這樣就得出了子集${𝒢}_i$，滿足條件

$A\subset \bigcup _i{B}_i=\bigcup _{i=1}^{M_n}\bigcup _{B\in {𝒢}_i}B$

對一般的A，設

$R:=\sup \{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B),B\in ℱ\}$

對每個正整數l，設

$A_l:=\{x\in A:3R(l-1)\le |x|<3Rl\}$

${ℱ}^l:=\{B(a,r)\in ℱ:a\in A_l\}$

將以上結果用到$A_l$和${ℱ}^l$上，得到子集${𝒢}_1^l,\cdots ,{𝒢}_{M_n}^l$，滿足條件

$A_l\subset \bigcup _{i=1}^{M_n}\bigcup _{B\in {𝒢}_i^l}B$

對$1\le j\le M_n$，設${𝒢}_i:=\underset{l=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{𝒢}_i^{2l-1}$，${𝒢}_{i+M_n}:=\underset{l=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{𝒢}_i^{2l}$，並設$N_n=2M_n$。那麼${𝒢}_i$的球互不相交，且有

$A=\bigcup _{l=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_l\subset \bigcup _{i=1}^{N_n}\bigcup _{B\in {𝒢}_i}B$

因此定理得證。

參見

• 維塔利覆蓋引理

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.