误差传播

Template:No footnotes 很多情况下，被测量Z 不能直接测得，而是由N 个其他量$x_1,x_2,\dots ,x_n$通过函数关系来确定，在统计学上，由于变量含有误差，而使由函数计算出的被测量Z 受其影响也含有误差，称之为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

误差传播定律

设有一般函数（线性函数和非线性函数）

Z=$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

式中$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 为可直接观测的相互独立的未知量，z为不便于直接观测的未知量。已知$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的標準差分别为$m_1,m_2,\dots ,m_n$ ,现在要求z的標準差$m_z$ 。已知函数z的中误差关系式为$m_z^2$ =$k_1^2{m}_1^2+k_2^2{m}_2^2+\dots +k_n^2{m}_n^2$（其中$k_1,k_2,\dots ,k_n$为任意常数）。由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似的用函数的全微分来表达，为此对上式求全微分，并以真误差的符号“Δ”替代微分的符号“d”得 $\mathrm{\Delta }z=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot \mathrm{\Delta }{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot \mathrm{\Delta }{x}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot \mathrm{\Delta }{x}_n$

式中$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ （i=1，2，，…，n）是函数对各个变量变量所取得偏导数，对上式以標準差平方代替真误差,由函数z的中误差关系式可得

$m_z^2$ =${\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)}^2{m}_1^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)}^2{m}_2^2+\dots +{\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)}^2{m}_n^2$

将上式取平方根可得误差传播定律的一般形式

$m_z$=±$\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)}^2{m}_1^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)}^2{m}_2^2+\dots +{\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)}^2{m}_n^2}$

参见

• 测量精度
• 自動微分
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• 精度衰减因子
• 误差
• Template:Tsl
• 测量不确定度
• 数值稳定性
• Template:Tsl
• Template:Tsl
• Template:Tsl
• Template:Tsl

外部链接

• Uncertainties and Error Propagation, Appendix V from the Mechanics Lab Manual, Case Western Reserve University.
• Mathieu Rouaud, 2013: Probability, Statistics and EstimationTemplate:Wayback Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement.
• A detailed discussion of measurements and the propagation of uncertaintyTemplate:Wayback explaining the benefits of using error propagation formulas and monte carlo simulations instead of simple significance arithmetic.
• Uncertainties and Error Propagation, Vern Lindberg's Guide to Uncertainties and Error Propagation.