調整函式

Template:多個問題 調整函式（Template:Lang-en） 分辨率為2^-j的 f 的近似值被定義為V_j上的正交投影P_Vjf。

為了計算這個投影，我們必須找到V_j的標準正交基底。

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}_n∈Z正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間V_j的正交基底。

避免混淆分辨率2^-j和尺度 2^j，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且P_Vjf 為尺度2^j的近似值。

定理

令 {V_j }_j∈Z為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數

• $\hat{\varphi }(\omega )=\frac{\hat{\theta }(\omega )}{(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\hat{\theta }(\omega +2k\pi ){|}^2{)}^{1/2}}$

其中

• ${\varphi }_{j,n}(t)=\frac{1}{\sqrt{2^j}}\varphi (\frac{t-n}{2^j})$

當j∈Z，V_j的正交基底為{Φ_j,n}_n∈Z

定理證明

為了建造一個標準正交基底，我們尋找一個函數Φ∈V₀。 因此，它可以在{θ(t-n)}_n∈Z的基礎上擴展：

• $\varphi (t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}a[n]\theta (t-n)$

這意味著

• $\hat{\varphi }(\omega )=\hat{a}(\omega )\hat{\theta }(\omega )$

其中 $\hat{a}$是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算 $\hat{a}$我們表示了

頻域中{Φ(t-n)}_n∈Z的正交性。 設$\overline{\varphi }(t)={\varphi }^{*}(-t)$。

對任意(n,p)∈Z²而言

• $\begin{array}{cc}⟨\varphi (t-n),\varphi (t-p)⟩& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (t-n){\varphi }^{*}(t-p)\mathrm{d}t\\ & =\varphi \star \overline{\varphi }(p-n)\end{array}$

因此，只有在$\varphi \star \overline{\varphi }(n)=\delta [n]$時，{Φ(t-n)}_n∈Z是正交的。

計算此等式的傅里葉變換得到

• $\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\hat{\varphi }(\omega +2k\pi ){|}^2=1$

實際上，$\varphi \star \overline{\varphi }(n)$的傅里葉變換是$|\hat{\varphi }(\omega ){|}^2$，取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。

如果我們選擇下列式子，則上式將被證實

• $\hat{a}(\omega )=(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\hat{\theta }(\omega +2k\pi ){|}^2{)}^{-1/2}$

其中分母具有嚴格上下限，因此a是有限能量的2W週期函數。

近似值

通過縮放正交基礎的擴展，獲得f在V_j上的正交投影

• $P_{V_j}f=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}⟨f,{\varphi }_{j,n}⟩{\varphi }_{j,n}$

內積為

• $a_j[n]=⟨f,{\varphi }_{j,n}⟩$

在尺度2^j處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式：

• $\begin{array}{cc}{a}_j[n]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\frac{1}{\sqrt{2^j}}\varphi (\frac{t-2^{j}n}{2^j})\mathrm{d}t\\ & =f\star {\overline{\varphi }}_j(2^{j}n)\end{array}$ , with ${\overline{\varphi }}_j(t)=\sqrt{2^{-j}}\varphi (2^{-j}t)$

傅立葉轉換 $\hat{\varphi }$的能量通常集中在[-π，π]中。

因此，${\overline{\varphi }}_j(t)$的傅立葉轉換$\sqrt{2^j}{\hat{\varphi }}^{*}(2^j\omega )$主要是在[-2^-jπ，2^-jπ]中，不可忽略不計。

離散近似 a_j[n] 是以間隔 2^j 取樣的 f 低通濾波。

參考資料

1. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd  edition, 2009.