覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間$X$的覆疊空間是一對資料$(Y,p)$，其中$Y$是拓撲空間，$p:Y\to X$是連續的滿射，並存在$X$的一組開覆盖

$X=\bigcup _{U\in 𝒰}U$

使得對每個$U\in 𝒰$，存在一個離散拓撲空間$F$及同胚：${\varphi }_U:U\times F\simeq p^{-1}(U)$，而且$p\circ {\varphi }_U:U\times F\to U$是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的$p:Y\to X$稱為覆疊映射。當$X$連通時，$F$的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間$X$的覆疊構成一個範疇${𝐂𝐨𝐯}_X$，其對象形如$p:Y\to X$，從$p:Y\to X$到$q:Z\to X$態射是連續映射$f:Y\to Z$，且$q\circ f=p$。

例子

覆疊空間的例子：$ℝ\to {𝕊}^1$

• 考慮映射$p:ℝ\to {𝕊}^1$，$p(x)=e^{2\pi ix}$。對任意$s=e^{2\pi it}\in {𝕊}^1$，取其開鄰域

$U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<\frac{1}{2}\}\simeq (-1/2,1/2)$

$f:(-1/2,1/2)\times \mathbb{Z}\stackrel{\sim }{\to }{p}^{-1}(U),f(t,n)=t+n$

由此可見$p:ℝ\to {𝕊}^1$是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 ${𝕊}^1\times [0,1]$。

性质

局部性质 对于任何一个覆叠$p:C\to X$都是一个局部同胚，这就是说，对任意的$c\in C$，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

萬有覆疊空間

連通空間$X$的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇${𝐂𝐨𝐯}_X$的初始對象$u:\tilde{X}\to X$，換言之，對每個覆疊$p:X^{\prime }\to X$，存在唯一的連續映射$f:\tilde{X}\to X^{\prime }$使得$p\circ f=u$。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的$ℝ\to {𝕊}^1$便是一例。

若要求$X$局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊$\tilde{X}\to X$是萬有覆疊的充要條件是基本群${\pi }_1(\tilde{X},*)=\{e\}$。

正則覆疊及主叢

以下同樣要求$X$連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射$p:Y\to X$，選定$x\in X$。在${𝐂𝐨𝐯}_X$中的自同構群$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p)$在纖維$p^{-1}(x)$上的作用是自由的（即：$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p^{-1}(x))$是單射），對於$x\in X$的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p)$的作用是傳遞的，則稱$p:Y\to X$為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻

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