蒙日圆

法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x^2+y^2=a^2+b^2$。这一结论被称为蒙日圆。

證明

設$F_1,F_2$分別為橢圓的左右焦點，焦距為$c$。設點$M,N$分別為點$F_1$關於$PA$，$F_2$關於$PB$的對稱點。由橢圓的光學性質Template:Efn知$F_2$，$A$，$M$及$F_1$，$B$，$N$分別三點共線，由橢圓定義有$M{F}_2=N{F}_1=2a$。設$F_{1}M$交直線$PA$于點$Q$，$F_{2}N$交直線$PB$於點$S$，分別延長$M{F}_1$，$N{F}_2$交於點$R$，則$OQ=\frac{1}{2}M{F}_2=\frac{1}{2}N{F}_1=OS=a$，$OR=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2=c$。在矩形$PQRS$中，由平面幾何知識易知$O{P}^2+O{R}^2=O{Q}^2+O{S}^2$，於是$O{P}^2=O{Q}^2+O{S}^2-O{R}^2=a^2+b^2$。

在雙曲線中的結論

與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x^2+y^2=a^2-b^2$。

在拋物線中的結論

與拋物線$y^2=2px(p>0)$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x=-\frac{p}{2}$(可以看成是半徑無窮大的圓)。