芬斯拉不等式

Template:Unreferenced 芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为$a$, $b$, $c$，面积为$S$，则

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$ （当且仅当$a=b=c$时，等号成立）……（1）

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设$AD=h$，$BD=m$，$DC=n$，则有

$a^2=(m+n{)}^2$，$b^2=h^2+n^2$，$c^2=h^2+m^2$，$S=\frac{(m+n)h}{2}$，

∵$[h-\frac{\sqrt{3}(m+n)h}{2}{]}^2+[\frac{(m-n)h}{2}{]}^2\ge 0$ ……（2）

等号当且仅当$h=\frac{\sqrt{3}(m+n)}{2}$，且$m=n$时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

$(m+n{)}^2+h^2+n^2+h^2+m^2\ge 2\sqrt{3}(m+n)h$，

∴ $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$。（当$a=b=c$时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当$a=b=c$时，正三角形的面积最大，此时有$m=n$，$h=\frac{\sqrt{3}(m+n)}{2}$，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

$a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S$

$=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab\cos C)-2\sqrt{3}ab\sin C$

$=2(a^2+b^2-2ab\sin (C+\frac{\pi }{6}))$

$\ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b{)}^2\ge 0$

当且仅当$a=b$，∠C=60°，即$a=b=c$时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广

1、若a、b、c、d为四边形的四条边，S为其面积，则有

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4S$

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若$L_1$、$L_2$、……、$L_n$为n边形的边长，S为其面积，则有

$L_1^2+L_2^2+$……$L_n^2\ge 4S\tan \frac{\pi }{n}(n\ge 3)$

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。