艾普塞朗數

Template:Expand Template:Unreferenced 艾普塞朗數ε乃是數學集合論中一系列的超限序數，其為指數映射的某些固定點。因此，它並不能透過較小序數有限次數的加法及乘法運算而獲得。康托爾原來引進的艾普塞朗數，乃以以下的方式定義:-

ε乃是一個滿足以下式的序數，當中ω乃是最小的無限序數。

$\epsilon ={\omega }^{\epsilon },$

滿足上式的所有ε當中，最小的記為ε₀。它可以透過以下的超限遞歸法獲得:-

${\epsilon }_0={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=\sup \{\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}},\dots \}$

其後如此類推，

${\epsilon }_{\alpha +1}=\sup \{{\epsilon }_{\alpha }+1,{\omega }^{{\epsilon }_{\alpha }+1},{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{\alpha }+1}},\dots \}=\sup \{0,1,{\epsilon }_{\alpha },{\epsilon }_{\alpha }^{{\epsilon }_{\alpha }},{\epsilon }_{\alpha }^{{\epsilon }_{\alpha }^{{\epsilon }_{\alpha }}},\dots \}$

更大的艾普塞朗數為${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_{\omega },{\epsilon }_{\omega +1},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_0},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_1},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\cdot }_{{\cdot }_{\cdot }}}}},\dots$。值得留意的是，ε₀的基数，仍然為可數的。實際上，所有指標為可數的ε，其基數也是可數的。不可數的ε（意指滿足定義式$\epsilon ={\omega }^{\epsilon },$的ε）存在，但其指標也是不可數的。

參考條目

• 巨大可數序數