舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和实数t，都有：

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

证明

由于不等式是对称的，不失一般性，我们不妨设$x\ge y\ge z$。对t分类讨论: $t\ge 0$时,

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。同理，$t<0$时,

$(y-z)[z^t(x-z)-y^t(x-y)]+x^t(x-y)(x-z)\ge 0$

证毕。

推广

舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，则以下的不等式成立：

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\ge 0.$

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑$a,b,c,x,y,z\in ℝ$，其中$a\ge b\ge c$，而且$x\ge y\ge z$或$z\ge y\ge x$。设$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，并设$f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$或者是凸函数，或者是单调函数。那么：

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0.$

当x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = m^t时，即化为舒尔不等式。