背景场方法

Template:Orphan Template:NoteTA 在量子场论中，背景场方法是通过将场系统中一些量子场写成经典场（称为背景场）和量子场的叠加，从而计算原来的量子场的Template:Tsl的方法。由于该方法能给出保持规范对称性的结果，它常被用于规范场的量子化。

原理

量子场的Template:Tsl可以由其生成泛函$Z[J]$对外源$J$的泛函微商给出：

$Z[J]=\int 𝒟\varphi \exp (\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{d}x(ℒ[\varphi (x)]+J^a(x){\varphi }^a(x)))$

Template:Tsl的生成泛函$W[J]$为：

$W[J]=-𝒾\ln (Z[J])$

有效作用量$\mathrm{\Gamma }[\varphi ]$为$W[J]$的勒让德变换：

$\mathrm{\Gamma }[\varphi ]=W[J]-\int {\mathrm{d}}^{d}x{J}^a(x){\varphi }^a(x)$，其中$J$由方程$\varphi =\frac{\delta W[J]}{\delta J}$决定。$\mathrm{\Gamma }[\varphi ]$也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。

如果将$\varphi$写成经典场$B$（称为背景场）和量子场$\eta$的叠加：

$\varphi (x)=B(x)+\eta (x)$.

则同样可以定义背景场存在下量子场$\eta$的生成泛函$Z[J,B]$，$W[J,B]$和有效作用量$\mathrm{\Gamma }[\eta ,B]$：

$Z[J,B]=\int 𝒟\eta \exp (\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{d}x(ℒ[\eta (x)+B(x)]+J^a(x){\eta }^a(x)))$

$W[J,B]=-𝒾\ln (Z[J,B])$

$\mathrm{\Gamma }[\eta ,B]=W[J,B]-\int {\mathrm{d}}^{d}x{J}^a(x){\eta }^a(x)$，${\eta }^a=\frac{\delta W[J,B]}{\delta J^a}$

对$Z[J,B]$的路径积分表达式作$\eta \to \varphi -B$的变量代换，可以证明：

$\mathrm{\Gamma }[\eta ,B]=\mathrm{\Gamma }[\varphi {]}_{\varphi =\eta +B}$，特别地，$\mathrm{\Gamma }[0,B]=\mathrm{\Gamma }[\varphi {]}_{\varphi =B}$

因此，为计算量子场$\varphi$的有效作用量$\mathrm{\Gamma }[\varphi ]$，只需计算$\mathrm{\Gamma }[0,B]=\mathrm{\Gamma }[\varphi {]}_{B=\varphi }$，此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用微扰方法：将作用量$S[\eta +B]$中$\eta$的二次项当作无扰的作用量，用以构建$\eta$场的传播子，包含$\eta$更高阶次的项则视为相互作用项，并以微扰展开的方法处理。在这种处理下，$\mathrm{\Gamma }[0,B]$是背景场存在时，所有单粒子不可约的Template:Tsl的贡献之和。量子场只出现在这些图的内线中，而背景场只出现在这些图的外线中。进行重整化时，背景场的场强需要重整化，但量子场的场强不需要重整化。

应用

背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时，通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场，需要向作用量中引入规范固定项（对于非阿贝尔规范场还需引入鬼场），如下所示：

$Z[J]=\int 𝒟𝒜\times \det [\frac{\delta {𝒢}^a}{\delta {\theta }^b}]\times \exp (\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{d}x(ℒ[𝒜(x)]-\frac{1}{2\xi }({𝒢}^a(𝒜(x)){)}^2+J_{\mu }^a(x){𝒜}^{a\mu }(x)))$

其中${𝒜}_{\mu }^a$是规范场，${𝒢}^a(𝒜)$是引入的规范固定项，$\theta$是规范群的参数。

规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对可观测量的计算带来影响，这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量，如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项，通常不再具有规范对称性。

如果使用背景场方法，在规范场上叠加一个经典场${ℬ}_{\mu }^a$，并选取如下的规范固定项（这种规范也被称为背景场规范）：

$Z[J,ℬ]=\int 𝒟𝒜\times \det [\frac{\delta {𝒢}^a}{\delta {\theta }^b}]\times \exp (\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{d}x(ℒ[𝒜(x)+ℬ(x)]-\frac{1}{2\xi }({𝒢}^a(𝒜(x)){)}^2+J_{\mu }^a(x){𝒜}^{a\mu }(x)))$

${𝒢}^a(𝒜)={\partial }_{\mu }{𝒜}^{a\mu }+g{f}^{abc}{𝒜}_b^{\mu }{ℬ}_{c\mu }$

那么生成泛函$Z[J,ℬ]$在如下的无穷小规范变换下保持不变：

${𝒜}_{\mu }^a\to {𝒜}_{\mu }^a-f^{abc}{\theta }^b{𝒜}_{\mu }^c$；${ℬ}_{\mu }^a\to {ℬ}_{\mu }^a+\frac{1}{g}{\partial }_{\mu }{\theta }^a-f^{abc}{\theta }^b{ℬ}_{\mu }^c$；$J_{\mu }^a\to J_{\mu }^a+f^{abc}{\theta }^b{J}_{\mu }^c$

因此，有效作用量$\mathrm{\Gamma }[0,ℬ]$具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的，并且满足Template:Tsl（在一般的规范下，格林函数只满足更为复杂的Template:Tsl）。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解，同时也大大简化了计算。

背景场方法也可用来处理电弱标准模型，这种情况下，除了要为规范场引入背景场，也要为希格斯场引入背景场，并将对称性破缺带来的希场真空期望值放入背景场中，以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合（参见Template:Tsl）。此外，背景场方法亦被用于处理引力和超引力相关的理论。