网球拍定理

網球拍的三個主軸

网球拍定理或者中间轴定理，又称贾尼别科夫效应或扎尼别科夫效应（Dzhanibekov Effect）是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解，该刚体可以绕三个不同的主轴旋转，并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现，因以為名。1991年的一篇论文解释了该效应，不過此現象在至少150年前就已被發現。

该定理所描述的現象為：剛體繞著第一個和第三個主轴轉動時很穩定，但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的实验来解释：握住拍柄使得拍面呈水平，然後將球拍拋至空中，繞著垂直握把的水平軸（圖中 ê₂）旋轉，再試著接住球拍。旋轉過程中，拍面自身很可能也會轉了半圈，以致不容易接住。相對而言，如果是繞著握把軸（圖中 ê₁）或是與拍面垂直的軸（ê₃）旋轉，則可以不造成其他軸旋轉半圈。

事实上，该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现，例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同，该现象就会发生，不依赖于空气阻力或者重力。

網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。

数学描述

自由转动时，欧拉方程的形式为

$\begin{array}{cc}{I}_1{\dot{\omega }}_1& =(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3\text{(1)}\\ I_2{\dot{\omega }}_2& =(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1\text{(2)}\\ I_3{\dot{\omega }}_3& =(I_1-I_2){\omega }_1{\omega }_2\text{(3)}\end{array}$

这里，$I_1,I_2,I_3$为三个转动惯量，并假设$I_1>I_2>I_3$。${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$为三个相应的角速度，${\dot{\omega }}_1,{\dot{\omega }}_2,{\dot{\omega }}_3$为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况，要确定平衡状态的性质，可以假设另外两个初始角速度都非常小，从而${\dot{\omega }}_1$也非常小，所以${\omega }_1$与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导，并把${\dot{\omega }}_3$到代入其中，从而有

$\begin{array}{cc}{I}_2{I}_3{\ddot{\omega }}_2& =(I_3-I_1)(I_1-I_2)({\omega }_1{)}^2{\omega }_2\\ \end{array}$

File:Dzhanibekov effect.ogv值得一提的是，注意，现在${\omega }_2$的符号发生了变化，所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于$I_3$也是类似的原因，也是稳定的。

现在将一样的分析应用到$I_2$上，这一次是${\dot{\omega }}_2$非常小，${\omega }_2$与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导，并把${\dot{\omega }}_3$到代入其中，从而有

$\begin{array}{cc}{I}_1{I}_3{\ddot{\omega }}_1& =(I_2-I_3)(I_1-I_2)({\omega }_2{)}^2{\omega }_1\\ \end{array}$

注意，${\omega }_1$的符号保持不变（角速度会增长），所以绕主轴2旋转不稳定。因此，一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。