線性化重力

Template:NoteTA 線性化重力（Template:Lang-en）是廣義相對論中一個近似方案，其忽略時空度規張量的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。

方法

線性化重力中，時空度規張量$g$處理為愛因斯坦場方程式的一個解（通常是閔可夫斯基時空）與一微擾項$h$兩者之和：

$g=\eta +h$

其中η是非動態的背景度規，而被微擾了$h$——代表真實度規g自平直時空η偏移了多少。

微擾項的處理是採用微擾理論的方法。形容詞「線性化」表示對h作展開式，超過1次方（線性項）以上的微擾項（h的二次方項、h的三次方項等等……）被忽略。

線性化重力下的愛因斯坦重力場方程式

已知 $$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$$

因此，克里斯托費爾符號可以被寫為

$${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \delta }({\partial }_{\beta }{h}_{\delta \gamma }+{\partial }_{\gamma }{h}_{\beta \delta }-{\partial }_{\delta }{h}_{\beta \gamma })+𝒪(|h|)$$

由於黎曼曲率張量可以被表達成

$$R_{bcd}^a={\partial }_c{\mathrm{\Gamma }}_{bd}^a-{\partial }_d{\mathrm{\Gamma }}_{bc}^a+{\mathrm{\Gamma }}_{cm}^a{\mathrm{\Gamma }}_{bd}^m-{\mathrm{\Gamma }}_{dm}^a{\mathrm{\Gamma }}_{bc}^m$$

因此，里奇曲率張量可被寫為

$$\begin{array}{cc}{R}_{\mu \nu }& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }\\ & =\frac{1}{2}\{h_{\nu ,\mu \alpha }^{\alpha }+h_{\mu ,\nu \alpha }^{\alpha }-h_{\mu \nu ,\alpha }^{\alpha }-h_{\alpha ,\mu \nu }^{\alpha }-h_{\mu ,\alpha \nu }^{\alpha }+h_{\mu \alpha ,\nu }^{\alpha }\}\end{array}$$

因此，愛因斯坦張量 與愛因斯坦重力場方程式可被寫為

$$\begin{array}{cc}{G}_{\mu \nu }& =R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R\\ & =\frac{1}{2}\{{\partial }_{\mu }{\partial }_{\alpha }{h}_{\nu }^{\alpha }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\alpha }{h}_{\mu }^{\alpha }-{\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }{h}_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h\}-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }({\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{h}^{\alpha \beta }-{\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }h)\\ & =8\pi T_{\mu \nu }\end{array}$$

若選擇適當的規範，線性化重力場的愛因斯坦場方程可以被寫為一個二階的波方程式。