維格納定理

Template:Refimprove 維格納定理（Wigner's theorem）是由尤金·维格纳在1931年证明的，这个定理是量子力学的数学表述的奠基石。这个定理描述的是系统的对称性，即例如旋转，平移或者CPT这些操作是如何改变希尔伯特空间上的态。

根据这个定理，任何对称性操作都是希尔伯特空间上的一个幺正变换或者Template:Link-en。更准确的说，这个定理描述的是在一个复希尔伯特空间$H$ 上，如果对任意的 $x,y\in H$,都存在一个满射 $T:H\to H$ 满足

$|⟨Tx,Ty⟩|=|⟨x,y⟩|$

则对任意的$x\in H$该满射可以被改写成如下形式

$Tx=\phi (x)Ux$

其中$\phi :H\to ℂ$ 的模为1，而且$U:H\to H$是一个幺正或者反幺正的映射。

量子力学中的对称性

在量子力学和量子场论里，我们用一个矢量（右矢）来表征一个或多个粒子或场的量子态。任何对称操作，比如“将所有粒子和场在时间的方向上都向前移动5秒”，或者是“将粒子和场通过洛伦兹变换变换到在x轴方向以5m/s相对运动的参照系中”，这些都相当于希尔伯特空间上的一个操作T。这个操作T一定要是双射的，因为任何一个量子态都必须有个唯一的的对应的变换后的态，反之亦然。还有，当一个系统初始状态为$y$变换到状态$x$的概率为$|⟨x,y⟩{|}^2$。既然T是一个对称操作，那么一个系统初始状态为$Ty$变换到$Tx$的概率和前面是一样的；因此，$|⟨Tx,Ty⟩{|}^2=|⟨x,y⟩{|}^2$。于是，操作T就满足了魏格纳定理的假设。

根据魏格纳定理，T要么是幺正变换，要么是反幺正变换。在上面的两个例子里（时间平移和洛伦兹变换），T是幺正变换。而时间反演变换是一个典型的反幺正变换。

参见

• Template:Link-en

参考资料

补充来源

• Bargmann, V. "Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations". Journal of Mathematical Physics Vol 5, no. 7, Jul 1964.
• Molnar, Lajos. "An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem". Template:Arxiv
• Simon, R., Mukunda, N., Chaturvedi, S., Srinivasan, V., 2008. Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics. Phys. Lett. A 372, 6847–6852.
• Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644 Template:Wayback