維廷格函數不等式

Template:No footnotes 數學上，實函數的維廷格不等式是傅里叶分析中的一條不等式，得名於Template:Link-de。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。

定理

第一形式

設 $f:ℝ\to ℝ$ 為週期 2π 的周期函数，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)dx=0.$

則

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f{\text{'}}^2(x)dx\ge \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^2(x)dx$

其中等號成立當且僅當 f(x) = a sin(x) + b cos(x) 對某些 a 和 b 成立（換言之，對某些 c 和 d, 有 f(x) = c sin (x + d) ）。

此形式的維廷格不等式即是一維情形下的庞加莱不等式，並且具有最優的常數（龐加萊常數）。

第二形式

以下相關的不等式也稱為維廷格不等式：Template:Harv:

若 f 為 C¹ 函數（即連續並具有連續導數）使得 f(0) = f(a) = 0, 則

${\pi }^2\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f{|}^2\le a^2\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }{|}^2.$

此形式的維廷格不等式即是一維的Template:Link-en。

證明

兩者證明類似。以下給出第一條不等式的證明。由於 f 滿足狄利克雷條件，有傅立葉展開

$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n\ge 1}(a_n\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi }}+b_n\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi }}).$

由於 f 的積分為零，有 a₀ = 0. 又由帕塞瓦尔恒等式，有

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^2(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$

和

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f{\text{'}}^2(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2(a_n^2+b_n^2).$

各項中 $(a_n^2+b_n^2)$ 非負，而 n² ≥1，故欲證的不等式成立。等號成立當且僅當對任意的 n ≥ 2, 皆有a_n = b_n = 0.

參考文獻

• Template:Citation
• Template:Tsl (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, page 183, Princeton University Press Template:ISBN

• Template:Tsl (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668.