糾纏譜

糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学概念，可作為糾纏熵的推廣，用來分析量子多體系統的波函數。糾纏譜的數學定義是

${\xi }_i=-\ln {\omega }_i$

其中${\omega }_i$是約化密度矩陣的第$i$個本徵值。

簡介

討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成

$|\psi ⟩=\sum _{i\in A}\sum _{k\in B}{\varphi }_{ik}|i⟩|k⟩$

雖然總系統的密度矩陣 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ 是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣 ${\rho }_A={\mathrm{t}\mathrm{r}}_B\rho$ 可能是一個混合態，即 ${\rho }_A^2\ne {\rho }_A$。 這個部分跡「${\mathrm{t}\mathrm{r}}_B$」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是

$[{\rho }_A{]}_{ij}=\sum _k{\varphi }_{ik}^{*}{\varphi }_{jk}$

可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，$[{\rho }_A{]}_{ji}^{*}=[{\rho }_A{]}_{ij}$，所以 ${\rho }_A$ 的本徵值必為實數。由於 ${\rho }_A$ 可能是一個混合態，這表示當總系統是$|\psi ⟩$這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是 ${\rho }_A$ 的本徵值 ${\omega }_i$，滿足本徵值方程式 ${\rho }_A|{\omega }_i⟩={\omega }_i|{\omega }_i⟩$。由於總系統波函數是歸一化的，$⟨\psi |\psi ⟩=1$，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。

$\sum _i{\omega }_i=1$

${\omega }_i$ 也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量 $O_A$ 的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 $⟨{\omega }_i|O_A|{\omega }_i⟩$，和子系統對應在那個本徵態的機率 ${\omega }_i$，相乘之後的總和，

$⟨O_A⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}({\rho }_A{O}_A)=\sum _i{\omega }_i⟨{\omega }_i|O_A|{\omega }_i⟩$

A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從 ${\omega }_i$ 的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等，${\omega }_1={\omega }_2=\cdots$，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，${\omega }_1=1$，其餘本徵值皆為 0，${\omega }_2={\omega }_3=\cdots =0$，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察 ${\rho }_A$ 的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。

在量子統計力學中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 $\rho =e^{-\beta H}/Z$，其中 $\beta =1/k_{B}T$ 是溫度的倒數，$k_B$ 是波茲曼常數，$Z=\mathrm{t}\mathrm{r}(e^{-\beta H})$是配分函數，$H$ 是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣 ${\rho }_A$ 是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為 $\beta =1$ 的熱態 ${\rho }_A=e^{-H_E}$，可以定義出一個假想的哈密顿算符 $H_E$，這個 $H_E$ 是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而 $H_E$ 的本徵值 ${\xi }_i$ 就稱為糾纏譜，滿足 $H_E|{\omega }_i⟩={\xi }_i|{\omega }_i⟩$，所以糾纏譜和 ${\omega }_i$ 的關係是 ${\omega }_i=e^{-{\xi }_i}$ 或

${\xi }_i=-\ln {\omega }_i$

須注意糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符，而且即使系統的哈密顿算符 $H$ 可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，$H=H_A+H_B+H_{AB}$，一般來說糾纏哈密顿算符 $H_E$ 也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符 $H_A$，$H_E\ne \beta H_A$。