米田引理

在範疇論中，米田引理斷言一個對象$X$的性質由它所表示的函子$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,-)$或$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,X)$决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家米田信夫。

陳述

設$𝒞$為一範疇，定義兩個函子範疇如下：

${𝒞}^{\wedge }:=\mathrm{F}\mathrm{c}\mathrm{t}(𝒞,𝐒𝐞𝐭)$

${𝒞}^{\vee }:=\mathrm{F}\mathrm{c}\mathrm{t}({𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},𝐒𝐞𝐭)$

並定義兩個函子：

$h_{𝒞}(X)=h_X:={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(-,X)$

$k_{𝒞}(X)=k_X:={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(X,-)$

其中$h_{𝒞}:C\to {𝒞}^{\wedge }$而$k_{𝒞}:C\to {𝒞}^{\vee }$。

米田引理的抽象陳述如下：

米田引理。有自然的同構

$\mathrm{\forall }X\in 𝒞,A\in {𝒞}^{\wedge }{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}^{\wedge }}(h_X,A)\simeq A(X)$

$\mathrm{\forall }X\in 𝒞,B\in {𝒞}^{\vee }{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}^{\vee }}(k_X,B)\simeq B(X)$

這兩個同構對所有變元$A,B,X$都滿足函子性。

對任一對象$Y\in 𝒞$，在上述同構中分別取$A=h_Y,B=k_Y$，便得到米田引理最常見的形式：

推論。函子$h_{𝒞}:C\to {𝒞}^{\wedge }$與$k_{𝒞}:C\to {𝒞}^{\vee }$是完全忠實的。

應用

Template:Further 由上述推論，範疇中的對象$X$由它所表示的函子$h_X$或$k_X$唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks