篩法基本引理

在數論上，篩法基本引理（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。Template:Link-en與Template:Link-en Template:Rp寫道： Template:Quote

賈盟（Diamond）與Template:Link-enTemplate:Rp認為「基本引理」一詞源自Template:Link-en。

共通符號

此條目中，我們使用以下的符號：

• $A$是一個有$X$個正整數的集合，而$A_d$則是由可被$d$除盡的正整數組成的子集。
• $w(d)$及$R_d$是$A$與$d$的函數，這些函數可用以估計$A$中可被$d$除盡的元素的個數。而我們有以下的公式：

$\left|A_d\right|=\frac{w(d)}{d}X+R_d.$

因此，$w(d)/d$表示能被$d$除盡的元素的大致密度；而$R_d$則表示剩餘項或誤差。

• $P$是一個質數的集合，而$P(z)$則是所有不大於$\le z$的質數的乘積。
• $S(A,P,z)$是$A$中不為任何$P$中不大於$\le z$的質數除盡的元素的數量。
• $\kappa$是一個常數，又稱作篩選密度（sifting density）。Template:Rp這篩選密度會出現在以下的假設中，表示被每個質數篩掉的同餘類數量的加權平均。

組合篩法基本引理

以下公式表示取自太能保母（Tenenbaum）。Template:Rp，其他的公式表示則可見於Template:Link-en與Template:Link-en、Template:Rp、葛里維斯（Greaves）及Template:Rp及Template:Le與伊萬尼茲等人的著作。Template:Rp

我們首先作出如下假設：

• $w(d)$是一個積性函數。
• 對於某個常數$C$及任意滿足$2\le \eta \le \xi$的實數$\eta$及$\xi$而言，篩選密度$\kappa$滿足如次條件：$\prod _{\eta \le p\le \xi }{(1-\frac{w(p)}{p})}^{-1}<{\left(\frac{\ln \xi }{\ln \eta }\right)}^{\kappa }(1+\frac{C}{\ln \eta }).$

對於$A$、$X$、$z$及$u$而言，我們有以下等式。此公式中的$u\ge 1$由使用者自行決定其數值：

$S(A,P,z)=X\prod _{p\le z,p\in P}(1-\frac{w(p)}{p})\{1+O(u^{-u/2})\}+O(\sum _{d\le z^u,d|P(z)}|R_d|).$

在實際應用中，可對$u$進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於容斥原理的使用層級數。

塞爾伯格篩法基本引理

以下公式表示取自Template:Link-en與Template:Link-en的結果Template:Rp；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與Template:Link-en的結果。Template:Rp

我們首先作出如下假設：

• $w(d)$是一個積性函數。
• 對於某個常數$C$及任意滿足$2\le \eta \le \xi$的實數$\eta$及$\xi$而言，篩選密度$\kappa$滿足如次條件：$\sum _{\eta \le p\le \xi }\frac{w(p)\ln p}{p}<\kappa \ln \frac{\xi }{\eta }+C.$
• 對於一些小且固定的$c$及所有的$p$而言，$\frac{w(p)}{p}<1-c$。
• 對於所有無平方因子、且質因數位於$P$中的$d$而言，$|R(d)|\le w(d)$。

使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設$u=\ln X/\ln z$，則有如次結論：

$S(A,P,z)=X\prod _{p\le z,p\in P}(1-\frac{w(p)}{p})\{1+O(e^{-u/2})\}.$

應當注意的是，在我們的處理中，$u$不再是一個獨立參數，而是一個取決於$z$的參數。

另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而Template:Link-en與Template:Link-en對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」