磁标势

Template:NoteTA Template:Distinguish 磁标势（Template:Lang-en）是描述磁场性质的一个有用的辅助量，尤其是在永磁体中。

在一个单连通、没有自由电流的区域，有

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=0,$

这样，我们可以定义磁标势$\psi$为Template:Rp

$𝐇=-\mathrm{\nabla }\psi .$

又因为

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot (𝐇\mathbf{+}𝐌)=0,$

并且

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌.$

这里，$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$充当了磁场的“源”，看起来就像是$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐏$在电场中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将

${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$

称为“束缚磁荷”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。

如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。

利用磁标势求解磁場

在靜磁學裏，描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁标势。由於磁标势是一個純量，不是向量，大多數時候，使用磁标势可以使得運算更加簡便。但是，它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉$ 、

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ ；

其中，$𝐇$ 是磁場強度（H場）。

假設電流密度 $𝐉$ 等於零，則 $\mathrm{\nabla }\times 𝐇=0$ ，H場是個保守場，必定存在一個函數 ${\psi }_m$ 滿足

$𝐇=-\mathrm{\nabla }{\psi }_m$ 。

稱這函數為磁标势。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏，則可將上述定義式代入高斯磁定律，稍加編排，表示為拉普拉斯方程式的形式：

${\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_m=0$。

對於任意連續場 ${\psi }_m$ ，其梯度的旋度為零。這意味著磁标势場不能存在有任何源電流。但是，實際而言，假若容許不連續線的存在於磁标势場（不連續點可以擁有兩種不同的數值），應用複分析，就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為割線（Template:Lang）。當用磁标势來解析靜磁學問題時，源電流必須置放於割線。

鐵磁性物質的磁标势

在鐵磁性物質或永久磁鐵裏，B場 $𝐁$ 、磁化強度 $𝐌$ 與H場 $𝐇$ 之間的關係比較複雜：

$𝐇\stackrel{def}{=}\frac{1}{{\mu }_0}𝐁-𝐌$ 。

應用高斯磁定律，

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot (𝐇+𝐌)=0$ 。

立可得到

${\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$。

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$ 可以視為磁場的源電流，就好似 ${\rho }_{bound}=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐏$ 是靜電學的束縛電荷一樣。這樣，類比束縛電荷，可以稱呼 ${\rho }_m=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$ 為「束縛磁荷」。這樣，束縛磁荷的帕松方程式為

${\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_m=-{\rho }_m$。

這帕松方程式的解答為

${\psi }_m(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{{\rho }_m({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$ 。

参考文献

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相关条目

• 标量势
• 磁矢势