矩估计

Template:Unreferenced Template:NoteTA 在统计学中，矩估计（Template:Lang-en）是估计总体母數的方法。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。矩估计是英国统计学家卡尔·皮尔逊于1894年提出的。

方法

假设问题是要估计表征随机变量$W$的分布$f_W(w;\theta )$的$k$个未知参数${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k$。如果真实分布（"总体矩"）的前$k$阶矩可以表示成这些$\theta$的函数:

${\mu }_1\equiv E[W]=g_1({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k),$

${\mu }_2\equiv E[W^2]=g_2({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k),$

$⋮$

${\mu }_k\equiv E[W^k]=g_k({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k).$

设取出一大小为$n$的样本，得到$w_1,\dots ,w_n$。对于$j=1,\dots ,k$，令

${\hat{\mu }}_j=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{w}_i^j$

为j阶样本矩，是${\mu }_j$的估计。${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k$的矩估计量记为${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k$，由这些方程的解（如果存在）定义：Template:Citation needed

${\hat{\mu }}_1=g_1({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k),$

${\hat{\mu }}_2=g_2({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k),$

$⋮$

${\hat{\mu }}_k=g_k({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,\dots ,{\hat{\theta }}_k).$

参见

• 广义矩估计
• 點估計
• 估計量的偏誤