理想的根

在數學中的環論領域，一個理想的根是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。

交換環的冪零根

設 $R$ 為交換環，$I\subset R$ 為其理想。該理想的冪零根 $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(I)$（或 $\sqrt{I}$）定義為

$\text{Rad}(I)=\{r\in R|\mathrm{\exists }n,r^n\in I\}$。

由二項式定理可知 $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(I)$ 也是一個理想，並包含 $I$。當取 $I=\{0\}$ 時，相應的根即是冪零元素的集合，也稱作環的冪零根，有時記為 $\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}(R)$。記 $\pi :R\to R/I$ 為商同態，則

$\text{Rad}(I)={\pi }^{-1}(\text{nil}(R/I))$

利用局部化技巧，也可證明

$\text{Rad}(I)=\bigcap \{P\in \text{Spec}(R):P\supset I\}$。

為具體起見，考慮較簡單的例子 $R=\mathbb{Z}$。每個非零理想都可寫成 $I=(\prod _i{p}_i^{e_i})$，此處 $p_1,p_2,\dots$ 取遍所有素數，$e_i$ 則是非負整數。易證

$\sqrt{I}=(\prod _{e_i>0}{p}_i)$。

雅各布森根

設 $R$ 為環（未必交換），其雅各布森根 $J(R)$ 定義為所有單右 $R$-模的零化子之交。對於雙邊理想 $I\subset R$，設 $\pi :R\to R/I$ 為商同態，定義 $J(I):={\pi }^{-1}(J(R/I))$。

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 $R$ 交換時，有下述簡單的性質：

$\text{Rad}(I)=\bigcap \{P\in \text{Spec-max}(R):P\supset I\}$。

換言之，此即所有包含 $I$ 的極大理想之交。由此立見 $J(I)\supset \text{Rad}(I)$。

文獻

• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.