理发师悖论

Template:Multiple issues 理髮師悖論（Template:Lang-en）是用来比喻羅素悖論的一个通俗说法，由伯特蘭·羅素在1901年提出。羅素悖論的出現是由於樸素集合論對於集合的不加限制的定義。由於當時集合論已成為數學理論的基礎，這一悖論的出現直接導致了一场數學危機，也引發了眾多的數學家對這一問題的補救，最終形成了現在的公理化集合論。同時，羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

內容

小城里的理发师放出豪言：他要为城裡人刮鬍子，而且一定只要為城里所有“不为自己刮鬍子的人”刮鬍子。

但问题是：理发师该为自己刮鬍子吗？如果他为自己刮鬍子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他不应该为自己刮鬍子；但如果他不为自己刮鬍子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他又应该为自己刮鬍子。

用集合论的语言来描述理发师悖论是这样的：小城里的人构成集合 $A = {a | a l i v e s i n t h e t o w n}$ ，对于每个小城里的人 $a$ 可以构造一个 $A$ 的子集 $S_{a} = {x | a s h a v e s x}$ ，即 $a$ 给属于 $S_{a}$ 的人刮鬍子。那么，如果城里人 $a$ 给自己刮鬍子，则 $a \in S_{a}$ ，如果 $a$ 不给自己刮鬍子，则 $a \in̸ S_{a}$ ，如果 $a$ 不给任何人刮鬍子，则 $S_{a}$ 为空，即 $S_{a} = {}$ 。设理发师为 $s$ ，则理发师的豪言就是： $S_{s} = {a | a \in̸ S_{a}}$ 。问题是：如果 $s \in S_{s}$ ，这将与 $S_{s}$ 的定义矛盾，但如果 $s \in̸ S_{s}$ ，根据 $S_{s}$ 的定义，又应该有 $s \in S_{s}$ 。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的，只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

历史故事

德国数理逻辑大师戈特洛布·弗雷格曾研究用集合论去描述数理逻辑，为此他还写了一本书。他在给罗素的信中提到他的工作时说他为此构造了一个特殊的集合（ $A$ ），这个集合由所有不包含自己的集合构成。也就是说，集合 $A$ 的元素 $X$ 是一个集合， $X$ 自己不是自己的元素，即 $X \in̸ X$ 。罗素在回信中讲述了前面的理发师的故事。聪明的弗雷格看出了这实际上是指出了他所构造的集合 $A$ 的问题：如果 $A \in̸ A$ ，那么根据定义 $A$ 应该包含 $A$ ，即 $A \in A$ ；但是如果 $A \in A$ ，那么同样根据定义 $A$ 又不应该包含 $A$ ，即 $A \in̸ A$ 。可此时弗雷格的书已经付印，修改已经是不可能的了，弗雷格只能在书中加一个后记并写到：在工作结束之后而发现那大厦的基础已经动摇，对于一个科学工作者来说，没有比这更为不幸的了。

虽然罗素没有直接点出那个弗雷格所构造的集合的悖论，但人们还是将那个集合的悖论称作罗素悖论。罗素悖论可以简单描述为：构造一个由所有不包含自己的集合构成的集合A，即 $A = {X | X \in̸ X}$ ，但我们无法断定A是否应该包含A，无论包含或者不包含都会导出矛盾。由于罗素悖论只涉及集合的定义和从属关系的判断这些集合论最基础的问题，而集合论又已成为数学理论的基础，因此罗素悖论导致了第三次数学危机。

这一历史故事应该只是一个“故事”，而不完全是历史事实。从看到的一些罗素和弗雷格的通信来看，他们的交流是很学术的。但罗素悖论指出了弗雷格著作中的一个错误，使得他来不及修改他的著作而只能追加一段后记这是一个事实。