现金流匹配

现金流匹配是一种套期保值过程，在该过程中，公司或个体将其现金流出（例如债务偿还）与其在给定时间范围内的现金流入相匹配。它是金融免疫策略的一个子集。现金流匹配在固定收益养老金项目中很重要。

用线性规划求解

现金流匹配问题可使用线性规划求解。先假设我们有$j=1,...,n$这$n$个债券，这些债券在$t=1,...,T$这$T$个周期中产生现金流，但是在每个周期中分别存在需要偿还的负债$L_1,...,L_T$需要偿还。假设债券$j$的初始价格为$p_j$，在周期$t$中可获得的现金流为$F_{tj}$。因此可以购买债券$x_j$在特定周期中获得盈余$s_t$，两者均为非负数，因此存在下列限制式：$$\begin{array}{cc}\sum _{j=1}^n{F}_{1j}{x}_j-s_1& =L_1\\ \sum _{j=1}^n{F}_{tj}{x}_j+s_{t-1}-s_t& =L_t,t=2,...,T\end{array}$$

我们的目标是将购买债券的初始成本$p^{T}x$最小化，同时还要求每个周期中产生的收益不小于需要偿还的负债。因此可以构建以下线性规划问题：$$\underset{x,s}{\min }{p}^{T}x,\text{s.t.}Fx+Rs=L,x,s\ge 0$$其中在$F\in {ℝ}^{T\times n}$和$R\in {ℝ}^{T\times T}$需要：$$R_{t,t}=-1,R_{t+1,t}=1$$

考虑到在购买债券时所涉及到的购买数量是离散的，因此可以使用混合整数线性规划来构建此类问题。