特定指数的费马大定理的证明

Template:多個問題 费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指數n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

n=4

证明$x^4+y^4=z^4$没有全不为0的整数解。

预备知识

假设x,y,z是满足$x^2+y^2=z^2$的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得$x^2=a^2-b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2$。

证明过程

1

假设(x,y,z)为方程$x^4+y^4=z^2$一个解并且x,y互质，y为偶数，则$x^2=a^2-b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2$，其中$a>b>0$，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由$x^2=a^2-b^2$得a必定是奇数，b必定是偶数。

2

另外，亦得$x^2+b^2=a^2$，再从此得$x=c^2-d^2,b=2cd,a=c^2+d^2$，其中$c>d>0$，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

3

最后有$y^2=2ab=4cd(c^2+d^2)$，由此得c、d和$c^2+d^2$为平方数。于是可设$c=e^2,d=f^2,c^2+d^2=g^2$,即$e^4+f^4=g^2$。换句话说，(e,f,g)为方程$x^4+y^4=z^2$的另外一个解。但是，$z=a^2+b^2=(c^2+d^2{)}^2+4c^2{d}^2>g^4>g>0$。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程$x^4+y^4=z^2$。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程$x^4+y^4=z^2$没有正整数解。