準素理想

在交換代數中，一個交換環 $R$ 裡的理想 $Q$ 若滿足 $R/Q\ne (0)$，而且其中每個零除數都是冪零的，則稱之為準素理想。另一種等價的刻畫是：對任意 $a,b\in R$，若 $ab\in Q$，則或有 $a\in Q$，或 $\mathrm{\exists }n{b}^n\in Q$。

若設 $P$ 為 $Q$ 的根（必為素理想），則也稱 $Q$ 為P-準素理想。

任何素理想都是準素理想。在整數環 $\mathbb{Z}$ 中，準素理想對應到素數的冪。

一般而言，對任何 $R$-模 $M$，定義

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M):=\{P\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R):\mathrm{\exists }m\in M,P=\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}(m)\}$

其中 $\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}(m):=\{r\in R:rm=0\}$。

對於子模 $N\subset M$，若 $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M/N)$ 只有一個元素 $P$，則稱 $N$ 為 $P$-準素子模。取 $R=M$，便回到先前的定義。

參見

• 準素分解

文獻

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 MR1322960
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