消失矩

Template:Unreferenced 消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

由來

在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support):

母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) :

因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:

這項是最難滿足的一項。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

定義

首先定義第 $k$ 個動量( $k_{th}$ moment):

$m_k=\int t^k\psi (t)dt$

若 $m_0=m_1=m_2=...=m_{p-1}=0$，

則我們說 $\psi (t)$ 有 $p$ 個消失矩。

如何計算消失矩

我們可以看到 $m_k=\int t^k\psi (t)dt$ 不太好計算，尤其是 $k$ 很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

$G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}dt$

當令$f=0$時，可以看到以上公式變成:

$G(0)=\int g(t)dt$

正是第0個動量 $m_0$。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第0個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 $f=0$ )。

計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 $k$ 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 $k$ 次，就相當於時域乘上 $t^k$ :

$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}dt$

當令$f=0$時，可以看到以上公式變成:

$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)dt$

正是第 $k$ 個動量 $m_k$。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第k個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 $f=0$ )。

一些常用函數的消失矩

分成兩類連續函數與連續函數的離散係數

• 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
• 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:

$\psi (t)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le t<1/2,\\ -1& 1/2\le t<1,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

$\psi (t)$ 是一個奇函數，所以

$m_0=\int \psi (t)dt=0$

但 $t\psi (t)$ 是偶函數，所以

$m_1=\int t\psi (t)dt\ne 0$

因此，哈爾基底的消失矩為1。

墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

$\psi (t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2\pi t^2)e^{-\pi t^2}$

仔細觀察，$\psi (t)$ 其實是高斯函數的二次微分:

$\psi (t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-\pi t^2},C=$ 常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

$\psi (t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-\pi t^2}\to -C4{\pi }^2{f}^2{e}^{-\pi f^2}$。

利用

$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)dt$

可以算出

$m_0=m_1=0,m_2\ne 0$。

所以墨西哥帽函數的消失矩為2。

高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

$\psi (t)=\frac{d^p}{d{t}^p}{e}^{-\pi t^2}$

其傅立葉轉換為

$(j2\pi f{)}^p{e}^{-\pi f^2}$。

利用

$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)dt$

可以算出

$m_0=m_1=m_{p-1},m_p\ne 0$。

所以高斯函數p次微分的消失矩為p。

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連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

多貝西小波

$2n$ 點的多貝西小波，消失矩 $=n$

Symlet

$2n$ 點的Symlet，消失矩 $=n$

Coiflet

$6n$ 點的Coiflet，消失矩 $=n$

三者的比較

1. Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (t)dt\ne 0$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^k\varphi (t)dt=0for1\le k\le p$

消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

$f(t)=\frac{\sin (t)}{t^2}$

當輸入值$t$逐漸往無限大增加時，此函數會以$\frac{1}{t^2}$的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{k}f(t)dt$來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當$k=0$時，由於分子$\sin (t)$會在$[-1,1]$之間震盪，使得整個函數在$[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]$震盪。

此性質使得$k=0$時，

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^k(\frac{\sin (t)}{t^2})dt\to 0$ 

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量$m_0=0$

當$k=1$時，

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^k(\frac{\sin (t)}{t})dt=\pi$

因此第1個動量$m_1=\pi \ne 0$

對於$k>1$的情況，動量積分式均會隨著$t\to \mathrm{\infty }$而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大$k$值來判斷函數的遞減速率，而此最大$k$值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

消失矩的等價敘述

依照定義，小波母函數$\psi (t)$有 $p$ 個消失矩的條件為

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^k\psi (t)dt=0,for0\le k<p$

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為$\phi (t)$，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

$|\psi (t)|=O((1+t^2{)}^{-p/2-1})$

$|\phi (t)|=O((1+t^2{)}^{-p/2-1})$

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數$\psi (t)$有$p$個消失矩。

2. $\psi (t),\phi (t)$的傅立葉轉換，以及前$p-1$次微分在$\omega =0$處均為零。

3. $h_{\phi }(t),H_{\phi }(e^{j\omega })$的傅立葉轉換，以及前$p-1$次微分在$\omega =0$處均為零。

4. 對於$0\le k<p$ 區間內的任意$k$值

$q_k(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{n}^k\phi (t-n)$

是最高次方為$k$ 的多項式函數。

消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

${|H_{\phi }(\omega )|}^2+{|H_{\phi }(\omega +\pi )|}^2=2$

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中$H_{\phi }(\omega )$代表離散低通濾波器$h_{\phi }[n]$離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

$H_{\phi }(e^{j\omega })=\sqrt{2}{(\frac{1+e^{j\omega }}{2}))}^{p}L(e^{j\omega })$

其中$L(x)$為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

消失矩與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

$\phi (t)=\sum _n^{}{h}_{\phi }[n]\sqrt{2}\phi (2t-n)$

$\psi (t)=\sum _n^{}{h}_{\psi }[n]\sqrt{2}\phi (2t-n)$

其中$h_{\phi }[n]$為離散低通濾波器，$h_{\psi }[n]$則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述$H_{\phi }(e^{j\omega })=\sqrt{2}{(\frac{1+e^{j\omega }}{2}))}^{p}L(e^{j\omega })$的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失矩$p$時，$H_{\phi }(e^{j\omega })$將會是具有較高$e^{j\omega }$次方的多項式函數，因此對應到的$h_{\phi }[n]$便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻

• Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform Template:Wayback [viewed 17/01/2012]
• Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform Template:Wayback, February 2010
• S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.