波尔文积分

波尔文积分（Template:Lang-en）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文和Template:Link-en共同发表了这个涉及sinc函数的积分。

常见的例子为：

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\frac{\pi }{2}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}dx=\frac{\pi }{2}\end{array}$

这种规律一直到

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\frac{\pi }{2}.$

都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}dx& =\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \simeq \frac{\pi }{2}-2.31\times 10^{-11}.\end{array}$

公式

对于给定的一系列非零实数，即$a_0,a_1,a_2\cdots$，可以给出$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{k=0}^n\frac{\sin (a_{k}x)}{a_{k}x}\mathrm{d}x$的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有$a_k$相关的量之和。特别的，设$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n)\in \{\pm 1{\}}^n$即由$\pm 1$构成的$n$元组，于是可以写成$b_{\gamma }=a_0+{\gamma }_1{a}_1+{\gamma }_2{a}_2+\cdots +{\gamma }_n{a}_n$即有关$a_k$的各种加减形式的总和，并且令${\epsilon }_{\gamma }={\gamma }_1{\gamma }_2\cdots {\gamma }_n$（其结果为$\pm 1$）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{k=0}^n\frac{\sin (a_{k}x)}{a_{k}x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2a_0}\cdot C_n$

其中：

$C_n=\frac{1}{2^n\cdot n!\prod _{k=1}^n{a}_k}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1{\}}^n}{\epsilon }_{\gamma }{b}_{\gamma }^n\mathrm{sgn}(b_n)$

在这里如果$a_0>|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|$，那么有$C_n=1$。

进一步地，如果存在一个$n$对于每个$k=0,\cdots ,n-1$总有$0<a_n<2a_k$成立，并且有$a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}<a_0<a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n$，即$n$为首次超过$a_0$的前几项之和时的元素数量，即当$k=0,\cdots ,n-1$时有$C_k=1$，但在其他情况时：

$C_n=1-\frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n-a_0{)}^n}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^n{a}_k}$

在这里令$a_k=\frac{1}{2k+1}$，即当$n=7$时$a_7=\frac{1}{15}$，此时$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955$但是$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02$，又由于$a_0=1$，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdots \frac{\sin \frac{x}{13}}{\frac{x}{13}}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$

但在另一方面，则有：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdots \frac{\sin \frac{x}{15}}{\frac{x}{15}}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}[1-\frac{{(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}-1)}^7}{2^6\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15{)}^{-1}}]$

即与前面给出的公式的结果相同。