波前集

Template:No footnotes Template:Cleanup-jargon 在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 在奇异支集 $\text{singsupp}(f)$ 的基础上进一步刻画了 $f$ 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义

在欧式空间的一个区域 $X\subset {ℝ}^n$ 中，一个分布 $u\in {𝒟}^{\prime }(X)$ 在一个点 $x\in X$ 处的奇异纤维 ${\mathrm{\Sigma }}_x(u)$，作为 ${ℝ}^n\setminus \{0\}$的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，$\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ 不属于 ${\mathrm{\Sigma }}_x(u)$ 当且仅当存在紧支集光滑函数 $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(X)$ 以及 $\xi$ 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） $\mathrm{\Gamma }$ 使得 $\varphi (x)\ne 0$，并且在 $\mathrm{\Gamma }$ 中有如下估计：对于任意正整数 $N$，存在正常数 $C_N$ 使得

$|\widehat{(\varphi u)}(\eta )|\le C_N(1+|\eta |{)}^{-N}\mathrm{\forall }\eta \in \mathrm{\Gamma }.$

（我们经常将这个估计写为$|\widehat{\varphi u}(\eta )|=O(⟨\eta {⟩}^{-\mathrm{\infty }})$。）

$f$ 的波前集 $\text{WF}(u)$ 定义为

$\text{WF}(u)=\{(x,\xi )\in {ℝ}^n\times ({ℝ}^n\setminus \{0\}):\xi \in {\mathrm{\Sigma }}_x(u)\}.$

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 $X$ 上的分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 为余切丛去掉零截面 $T^{\ast }X\setminus 0$ 的一个锥子集。

如果 $B:C_0^{\mathrm{\infty }}(X)\to {𝒟}^{\prime }(Y)$有Schwarz核 $K_B\in {𝒟}^{\prime }(Y\times X)$，定义

${\text{WF}}^{\prime }(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in \text{WF}(K_B).$

对于拟微分算子 $A\in {\mathrm{\Psi }}^m(X)$， 可以验证 ${\text{WF}}^{\prime }(A)$ 包含于 $(T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)$ 的对角线 $\mathrm{\Delta }(T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}$中。并且如果我们定义 $\text{WF}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0$ 如下：$(x_0,{\xi }_0)\in ̸\text{WF}(A)$ 当且仅当在$(x_0,{\xi }_0)$的一个锥邻域中，$A$ 的象征满足估计

$\sigma (A)(x,\xi )=O(⟨\xi {⟩}^{-\mathrm{\infty }})$

那么我们有 $(x,\xi )\in \text{WF}(A)$ 当且仅当 $(x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}^{\prime }(A)$。

等价定义

Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：$\text{WF}(u)$ 是所有满足如下性质的点 $(x,\xi )$在$T^{\ast }X\setminus 0$ 中的补集： 存在 $(x,\xi )$ 的锥邻域 $\mathrm{\Gamma }$ 使得对于任意的满足 $\text{WF}(A)\subset \mathrm{\Gamma }$ 的拟微分算子 $A\in {\mathrm{\Psi }}^0(X)$， 有 $Au\in C^{\mathrm{\infty }}$。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质

（1） 如果记 $\pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X$ 为余切丛上自然投影，则 $\pi (\text{WF}(u))=\text{sing supp}(u)$。

（2） 对于拟微分算子 $A\in {\mathrm{\Psi }}^m$， $\text{WF}(Au)\subset \text{WF}(A)\cap \text{WF}(u)$。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子$a(x,D)$，$\text{WF}(a(x,D)u)\subset \text{WF}(u)$。

（3） 如果 $f:X\to Y$ 是一个光滑映射，记 $N_f=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x{)}^{\prime }\eta =0\}$ 为 $f$ 的法丛。如果 $u\in {𝒟}^{\prime }(Y)$满足 $\text{WF}(u)\cap N_f=\mathrm{\varnothing }$，那么我们可以“唯一的”定义 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^{\ast }u\in {𝒟}^{\prime }(X)$。并且我们有 $\text{WF}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }\text{WF}(u)$。 特别的，如果 $f$ 是一个微分同胚，$\text{WF}(f^{\ast }u)=f^{\ast }\text{WF}(u)$。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 $B:C_0^{\mathrm{\infty }}(X)\to {𝒟}^{\prime }(Y)$ 如果将 ${\text{WF}}^{\prime }(B)$ 视作从 $T^{\ast }X$ 到 $T^{\ast }Y$ 的一个关系，并且记 $\text{WF}{\text{'}}_X(B)=W{F}^{\prime }(B{)}^{-1}(0_Y),\text{WF}{\text{'}}_Y(B)=W{F}^{\prime }(B)(0_X)$。这里$0_X$和$0_Y$分别是$X$和$Y$上余切丛的零截面。则如果 $u\in {𝒟}^{\prime }(X)$满足 $\text{WF}(u)\cap \text{WF}{\text{'}}_X(B)=\mathrm{\varnothing }$，那么我们可以“唯一的”定义$Bu\in {𝒟}^{\prime }(Y)$。并且我们有 $\text{WF}(Bu)\subset {\text{WF}}^{\prime }(B)(\text{WF}(u))\cup \text{WF}{\text{'}}_Y(B)$。

（5）如果 $A:C_0^{\mathrm{\infty }}(X)\to {𝒟}^{\prime }(Y)$ 和 $B:C_0^{\mathrm{\infty }}(Y)\to {𝒟}^{\prime }(Z)$ 满足 $\text{WF}{\text{'}}_Y(A)\cap \text{WF}{\text{'}}_Y(B)=\mathrm{\varnothing }$，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 $B\circ A:C_0^{\mathrm{\infty }}(X)\to {𝒟}^{\prime }(Z)$。并且我们有

${\text{WF}}^{\prime }(B\circ A)\subset (\text{WF}{\text{'}}_Z(B)\times (0_X))\cup (0_Z\times \text{WF}{\text{'}}_X(A))\cup ({\text{WF}}^{\prime }(B)\circ {\text{WF}}^{\prime }(A))$

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

推广

以上所定义的波前集描述的是分布的关于 $C^{\mathrm{\infty }}$ 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 ${\text{WF}}_A$，关于Gevery类 $G^s$ 的波前集，关于Sobolev空间 $H^s$ 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Template:Citation Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities