沃尔斯滕霍尔姆定理

Template:Expand language 在數論上，沃尔斯滕霍尔姆定理說明，對於大於或等於5的質數，有

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^3)$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{ap}{bp})\equiv (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})(\mathrm{mod}{p}^3)$
• $(p-1)!(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1})\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^2)$
• $(p-1){!}^2(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1{)}^2})\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

以上四個等式是等價的。

只有少數質數符合$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1mod{p}^4$，現時已知有兩個這樣的質數，16843 及 2124679 （OEIS:A088164）。這類質數稱為沃尔斯滕霍尔姆素数，下一個這樣的質數如果存在，它大於10⁹。

這定理是19世紀英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍爾姆提出的。值得一提的是沃爾斯滕霍爾姆是吳爾芙的父親的朋友，也是吳爾芙小說《燈塔行》中奧古斯圖斯·卡麥可的原形。