比例性质

Template:Unreferenced 比例性质是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

合比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。

证明

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$

$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

证毕

分比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$。

证明

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$

$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

证毕

合分比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。

证明

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1}$

$\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}$

$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

证毕

等比性质

表述

在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

数学表示

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

证法一

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k$

$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

证毕

证法二

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

由合比性质$\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}$

$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$

即$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

证毕

推论

已知$a_i,b_i\in ℂ,i=1,2,\dots ,n$，且有$b_i\ne 0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots =\frac{a_n}{b_n}$，则有$\frac{\sum _i^n{a}_i}{\sum _i^n{b}_i}=\frac{a_i}{b_i}$。

比例的线性组合

由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。

合分比性质的线性组合推论

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$。

证明：

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}=\frac{\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }$

$\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}=\frac{\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}=\frac{\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }$

$\therefore \frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$

证毕

等比性质的线性组合推论一

已知$a,b,c,d\in ℂ$，且有$b\ne 0,d\ne 0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则有$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

证明：

$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}=k$

$\therefore \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

证毕

等比性质的线性组合推论二

已知$a_i,b_i\in ℂ,i=1,2,\dots ,n$，且有$b_i\ne 0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots =\frac{a_n}{b_n}$，则有$\frac{\sum _i^n{\lambda }_i{a}_i}{\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}=\frac{a_i}{b_i}$。

证明：

令$k=\frac{a_i}{b_i}$，则$a_i=b_i\cdot k$

$\frac{\sum _i^n{\lambda }_i{a}_i}{\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}=\frac{\sum _i^n{\lambda }_{i}k{b}_i}{\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}=\frac{k\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}{\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}=k$

$\therefore \frac{\sum _i^n{\lambda }_i{a}_i}{\sum _i^n{\lambda }_i{b}_i}=\frac{a_i}{b_i}$

证毕