武卡谢维奇逻辑

在数学中，武卡谢维奇逻辑（Łukasiewicz logic）是非经典、多值逻辑。它最初由扬·武卡谢维奇定义为叫做“三价逻辑”的三值逻辑；它后来被推广为 n 值(对于所有有限 n)和无限多值变体，命题和一阶都有。它属于t-规范模糊逻辑 和亚结构逻辑类。

实数值语义

无穷多值武卡谢维奇逻辑是实数值逻辑，其中来自命题演算的句子被指派上在 0 到 1 之间的任意精度的真值。求值有如下递归定义:

• $w(\theta \to \varphi )=F_{\to }(\theta ,\varphi )$
• $w(\mathrm{\neg }\theta )=F_{\mathrm{\neg }}(\theta )$
• $w(\theta \wedge \varphi )=F_{\wedge }(\theta ,\varphi )$
• $w(\theta \vee \varphi )=F_{\vee }(\theta ,\varphi )$

$F_{\wedge }$, $F_{\vee }$, $F_{\mathrm{\neg }}$ 和 $F_{\to }$ 的值明确给出自:

• $F_{\wedge }(x,y)=Max\{0,x+y-1\}$
• $F_{\vee }(x,y)=Min\{1,x+y\}$
• $F_{\mathrm{\neg }}(x)=1-x$
• $F_{\to }(x,y)=Min\{1,1-x+y\}$

求值的性质

在这个定义下，求值满足如下条件:

$F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 满足

• $F_{\wedge }(0,0)=F_{\wedge }(0,1)=F_{\wedge }(1,0)=0$ 和 $F_{\wedge }(1,1)=1$。
• $F_{\vee }(0,0)=0$ 和 $F_{\vee }(0,1)=F_{\vee }(1,0)=F_{\vee }(1,1)=1$。

• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 是连续性的。
• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 在每个构成上是严格递增的。
• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 在如下意义上是结合性的: $F(a,F(b,c))=F(F(a,b),c)$ 对于每个 $F\in \{F_{\wedge },F_{\vee }\}$。

所以 $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 都是连续t-规范的。

• $F_{\mathrm{\neg }}(0)=1$ 和 $F_{\mathrm{\neg }}(1)=0$。
• $F_{\mathrm{\neg }}$ 是连续的。