欧拉定理 (几何)

$d=|IO|=\sqrt{R(R-2r)}$

在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离$d$ 可表示为

$d^2=R(R-2r)$

其中$R$为外接圆半径，$r$为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：

$R$ ≥ $2r.$

证明

(1)當$d=0$時，表示外心$O$與內心$I$重合，此時易證三角形$ABC$為正三角形，且$R=2r$，因此$d^2=R(R-2r)$。

(2)當$d$大於$0$時，請參考右下圖：

(a)设三角形$ABC$的外心为$O$，内心为$I$，延长$AI$交外接圆于$L$，则$L$为弧$BC$的中点。连$LO$延长交外接圆于$M$，过$I$作$ID$垂直于$AB$，$D$为垂足，则$ID=r$。易证三角形$ADI$与三角形$MBL$相似，故$\frac{ID}{BL}=\frac{AI}{ML}$，即$ID\times ML=AI\times BL$。所以$2Rr=AI\times BL$。

(b)连接$BI$，因

$\mathrm{\angle }BIL=\mathrm{\angle }BAI+\mathrm{\angle }ABI=\frac{\mathrm{\angle }BAC}{2}+\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}$，

$\mathrm{\angle }IBL=\mathrm{\angle }IBC+\mathrm{\angle }CBL=\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}+\frac{\mathrm{\angle }BAC}{2}$，

所以$\mathrm{\angle }BIL=\mathrm{\angle }IBL$，有$BL=IL$，由(a)的結論知$AI\cdot IL=2Rr$。

(c)設$OI$延长线交外接圆于$P,Q$ 两点，则$PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr$，所以$(R+d)(R-d)=2Rr$，即$d^2=R(R-2r)$。