橢圓曲線迪菲-赫爾曼金鑰交換

橢圓曲線迪菲-赫爾曼密钥交換（Template:Lang-en，縮寫為Template:Lang），是一種匿名的Template:Le（Key-agreement protocol），這是迪菲－赫尔曼密钥交换的變種，採用橢圓曲線密码学來加強性能与安全性。在這個協定下，雙方利用由橢圓曲線密码学建立的公鑰與私鑰對，在一個不安全的通道中，建立起安全的共有加密資料。^[1]^[2]^[3]臨時ECDH（ECDH Ephemeral，ECDHE）能夠提供前向安全性。

密鑰建立協議

Template:See also 假设爱丽丝与鲍勃需要建立共享密钥，但他们之间唯一的信道可能被第三方伊夫窃听，此时可以使用椭圆曲线密码学。首先，需要事先提前约定域参数（質数域 $F_{p}$ 时为 $(p, a, b, G, n, h)$ ，二元域 $F_{2}$ 时为 $(m, f (x), a, b, G, n, h)$ ），它是公开信息，定义了所使用的椭圆曲线；然后，双方准备符合条件的密钥（在区间 $[1, n - 1]$ 随机一个整数作为私钥 $d$ ，并与基点 $G$ 相乘得到点 $Q = d G$ ，即公钥），此时爱丽丝的密钥为 $(d_{A}, Q_{A})$ ，鲍勃的密钥为 $(d_{B}, Q_{B})$ ；接着，双方将自己的公钥 $Q_{A}$ 或 $Q_{B}$ 发送给对方；

爱丽丝计算点 $(x_{k}, y_{k}) = d_{A} Q_{B}$ ，鲍勃计算点 $(x_{k}, y_{k}) = d_{B} Q_{A}$ ，这就得到了双方的共享秘密 $x_{k}$ （即该点的x坐标）。由于 $d_{A} Q_{B} = d_{A} d_{B} G = d_{B} d_{A} G = d_{B} Q_{A}$ ，因此双方得到的 $x_{k}$ 是相等的。在实际应用中，常使用 $x_{k}$ 和其他相关参数作为一个Template:Link-en的输入，密钥为其输出。

在这个过程中，伊夫知道椭圆曲线的域参数，但爱丽丝只透露了她的公钥 $Q_{A}$ ，伊夫无法获得她的私钥 $d_{A}$ ，除非伊夫能够解决椭圆曲线上的离散对数问题，这个问题被认为是困难的。同理，鲍勃的私钥也是安全的。若伊夫要计算出双方的共享秘密 $x_{k}$ ，就需要求解Template:Link-en，而计算离散对数是此問題的已知最优解法，伊夫無法用其他方式直接解出共享秘密。

但是，如果双方使用的随机数生成器存在安全隐患，伊夫就可能预测私钥 $d_{A}$ 和 $d_{B}$ 。此外，上述的密钥交换是匿名的，双方没有进行身份验证。如果攻击者有能力篡改信息，就能冒充双方的身份。因此，有必要用其他的方式进行身分验证，例如公钥基础设施。

量子计算机

如果攻击者拥有大型量子计算机，那么他可以使用秀尔算法解决离散对数问题，从而破解私钥和共享秘密。目前的估算认为：破解256位素数域上的椭圆曲线，需要2330个量子比特与1260亿个托佛利门。^[4]相比之下，使用秀尔算法破解2048位的RSA则需要4098个量子比特与5.2万亿个托佛利门。因此，椭圆曲线会更先遭到量子计算机的破解。目前还不存在建造如此大型量子计算机的科学技术，因此椭圆曲线密码学至少在未来十年（或更久）依然是安全的。但是密码学家已经积极展开了后量子密码学的研究。其中，Template:Link-en（SIDH）有望取代当前的常规椭圆曲线密钥交换（ECDH）。

註釋

Template:Reflist

Template:密碼學

↑ NIST, Special Publication 800-56A, Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography Template:Wayback, March, 2006.
↑ Certicom Research, Standards for efficient cryptography, SEC 1: Elliptic Curve Cryptography Template:Wayback, Version 2.0, May 21, 2009.
↑ NSA Suite B Cryptography, Suite B Implementers' Guide to NIST SP 800-56A Template:Wayback, July 28, 2009.
↑ Template:Cite arxiv

[1] NIST, Special Publication 800-56A, Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography Template:Wayback, March, 2006.

[2] Certicom Research, Standards for efficient cryptography, SEC 1: Elliptic Curve Cryptography Template:Wayback, Version 2.0, May 21, 2009.

[3] NSA Suite B Cryptography, Suite B Implementers' Guide to NIST SP 800-56A Template:Wayback, July 28, 2009.

[4] Template:Cite arxiv

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