模糊函數與韋格納分佈的關係

模糊函數(Ambiguity function,AF):
$A{F}_s(\theta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j\theta t}dt$

韋格納分佈(Wigner distribution,WD):
$W{D}_s(t,\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j\omega \tau }d\tau$

模糊函數與韋格納分佈關係

一個訊號s(t)，自相關函數為 $R(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)s^{*}(t-\tau )dt$ 如果$R(\tau )$為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為$R(t,\tau )$， 時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
$P(t,\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(t,\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau$
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果 $R(t,\tau )=s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})$ ，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對$R(t,\tau )$中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)
$SA{F}_s(\theta ,\tau )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{j\theta t}dt$ 模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。 給一個對稱模糊函數$SA{F}_s(\theta ,\tau )$，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}SA{F}_s(\theta ,\tau )e^{-j\theta t}d\theta =s(t+\frac{\tau }{2})s^{*}(t-\frac{\tau }{2})$ 由上式可以推得
$W{D}_s(t,\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}SA{F}_s(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}d\theta d\tau$
也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution

範例

一個訊號為兩個Gaussian函數的和:
$s(t)=\sum _{i=1}^2{s}_i(t)=\sum _{i=1}^2\sqrt[4]{\frac{\alpha }{\pi }}{e}^{-\frac{\alpha }{2}(t-t_i{)}^2+j{\omega }_{i}t}$
$\Rightarrow SA{F}_s(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SA{F}_{si}(\theta ,\tau )+SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SA{F}_{s2,s1}(\theta ,\tau )$

• 其中$SA{F}_{s1}(\theta ,\tau ),SA{F}_{s2}(\theta ,\tau )$集中在原點(0,0)，而$SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )$集中在$(t_1-t_2,{\omega }_1-{\omega }_2)$，而$SA{F}_{s2,s1}(\theta ,\tau )$相似於$SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )$，除了中心點在$(t_2-t_1,{\omega }_2-{\omega }_1)$
  • $SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-\frac{1}{4\alpha }(\theta -{\omega }_d{)}^2+\frac{\alpha }{4}(\tau -t_d{)}^2}{e}^{j({\omega }_u\tau -\theta t_u+{\omega }_d{t}_u)}$ , $t_u=\frac{t_1+t_2}{2}$ , ${\omega }_u=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$ , $t_d=t_1-t_2$ , ${\omega }_d={\omega }_1-{\omega }_2$

模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term

從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}SA{F}_s(\theta ,\tau )\mathrm{\Phi }(\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}d\theta d\tau$ ,其中$\mathrm{\Phi }(\theta ,\tau )$為2D lowpass filter

兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係

如果$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(\theta ,\tau )d\theta d\tau =\varphi (t,\omega )$，則
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}SA{F}_s(\theta ,\tau )\mathrm{\Phi }(\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}d\theta d\tau$
$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x,y)W{D}_s(t-x,\omega -y)dxdy=SWD(t,\omega )$

• 其中SWD為smoothed Wigner distribution

通常$\mathrm{\Phi }(\theta ,\tau )$( 和$\varphi (t,\omega )$ )當作kernal function，用來控制SWD的特性。

若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
$W{D}_{s1,s2}(t,\omega )=A_{WD}(t,\omega )e^{j{\phi }_{WD}(t,\omega )}$
$SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )=A_{SAF}(\theta ,\tau )e^{j{\phi }_{SAF}(\theta ,\tau )}$
而$\frac{\partial }{\partial \theta }{\phi }_{SAF}(\theta ,\tau )=-t_u$ , $\frac{\partial }{\partial \tau }{\phi }_{SAF}(\theta ,\tau )={\omega }_u$
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地，$\frac{\partial }{\partial \omega }{\phi }_{WD}(t,\omega )=t_d$ , $\frac{\partial }{\partial t}{\phi }_{WD}(t,\omega )={\omega }_d$
則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。

如果${\omega }_1={\omega }_2={\omega }_0$，則
$SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[\frac{1}{4\alpha }{\theta }^2+\frac{\alpha }{4}(\tau -t_d{)}^2]}{e}^{j({\omega }_0\tau -\theta t_u)}$
會集中在$\tau$軸上。

如果$t_1=t_2=t_0$，則
$SA{F}_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[\frac{1}{4\alpha }(\theta -{\omega }_d{)}^2+\frac{\alpha }{4}{\tau }^2]}{e}^{j[{\omega }_u\tau -(\theta -{\omega }_d)t_0]}$
會集中在$\theta$軸上。

參考

• Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
• Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
• L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.