楊對稱化子

楊對稱化子（Template:Lang-en），是表示論中的一種工具，用於構造對稱羣$S_n$的不可約表示。

定義

• $S_n$是 n次对称群
• $ℂS_n$是$S_n$的羣環
• $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_k)$表示一個楊圖
  • 其中${\lambda }_1+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_k=n$是n的整數分拆。
• $P=\{g\in S_n|$楊表中任一行所構成的集合都在 $g$ 下不變$\}$
• $Q=\{g\in S_n|$楊表中任一列所構成的集合都在 $g$ 下不變$\}$
• $a_{\lambda }=\sum _{g\in P}{e}_g\in ℂS_n$
• $b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}\mathrm{sgn}(g)e_g\in ℂS_n$

其中 $e_g$ 是對應於 $g$ 的單位向量， $\mathrm{sgn}(g)$ 是 $g$ 的置換符號。於是乘積

• $c_{\lambda }:=a_{\lambda }{b}_{\lambda }\in ℂS_n$

就稱爲楊對稱化子(Young symmetrizer)。

参考书目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45