梅欽類公式

梅钦类公式（英语：Machin-like formula）是数学中计算圆周率的一个常用技巧，它是梅欽公式的推广，梅钦公式的形式为

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

梅钦依据此公式，把圆周率计算到一百多位小数。

梅钦类公式的形式为： Template:NumBlk

其中， $a_n$ 和 $b_n$ 为正 整数，且 $a_n<b_n$， $c_n$ 为非零整数，且$c_0$ 为正整数。

梅钦类公式的应用可结合反正切函数的泰勒级数展开：

导出

根据角的和差公式，

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

若 $-\frac{\pi }{2}<\arctan \frac{a_1}{b_1}+\arctan \frac{a_2}{b_2}<\frac{\pi }{2}.$ 有 Template:NumBlk

反复应用这一方程，可得到所有的梅欽類公式，比如最初的梅欽公式：

$2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1\times 5+1\times 5}{5\times 5-1\times 1}$

$=\arctan \frac{10}{24}$

$=\arctan \frac{5}{12}$

$4\arctan \frac{1}{5}$

$=2\arctan \frac{1}{5}+2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{5}{12}+\arctan \frac{5}{12}$

$=\arctan \frac{5\times 12+5\times 12}{12\times 12-5\times 5}$

$=\arctan \frac{120}{119}$

$4\arctan \frac{1}{5}-\frac{\pi }{4}$

$=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{1}$

$=4\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120}{119}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120\times 1+(-1)\times 119}{119\times 1-120\times (-1)}$

$=\arctan \frac{1}{239}$

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

用梅钦公式编程计算圆周率(C++)

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(void)
{   //本程序每四位数输出，如果请求计算的位数不是4的整数倍，最后输出可能会少1~3位数
	long a[2]={956,80},b[2]={57121,25},i=0,j,k,p,q,r,s=2,t,u,v,N,M=10000;
	printf("%9cMachin%6cpi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)\nPlease input a number.\n",32,32);
	cin>>N,N=N/4+3;
	long *pi=new long[N],*e=new long[N];
	while(i<N)pi[i++]=0;
	while(--s+1)
	{
		for(*e=a[k=s],i=N;--i;)e[i]=0;
		for(q=1;j=i-1,i<N;e[i]?0:++i,q+=2,k=!k)
			for(r=v=0;++j<N;pi[j]+=k?u:-u)u=(t=v*M+(e[j]=(p=r*M+e[j])/b[s]))/q,r=p%b[s],v=t%q;
	}
	while(--i)(pi[i]=(t=pi[i]+s)%M)<0?pi[i]+=M,s=t/M-1:s=t/M;
	for(cout<<"3.";++i<N-2;)printf("%04ld",pi[i]);
	delete []pi,delete []e,cin.ignore(),cin.ignore();
	return 0;
}

參考文獻

• Template:MathWorld
• The constant π Template:Wayback
• Machin's Merit Template:Wayback at MathPages
• Archimedes' constant pi - Machin's formula gives a proof for the John Machin`s formula
• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol. 4. 3ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999.