格林-陶定理

格林-陶定理（Template:Lang-en）是Template:Link-en和陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理。质数序列包含任意长的等差数列，是格林-陶定理的著名推论。

定理内容

对于任意的素数集合的子集$A$，若$A$相对于素数集合的上密度（Template:Lang-en）为正，即：

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}>0$

其中，$\pi (N)$代表不大于$N$的素数的个数。

那么：

对于任意的正整数$k$，$A$中的元素可以组成任意多个长度为$k$的等差数列。

推论

格林-陶定理有以下两个直接的推论：

• 对于任意正整数$k$，质数序列中存在任意多长度为$k$的等差子序列
• 质数序列中包含有任意长的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列

质数序列中长度为$k$的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

{a_n=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相关定理与猜想

• 格林-陶定理是塞迈雷迪定理在素数集上的推广。
• 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
• 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階階差數列（0階階差數列是常數數列，1階階差數列是等差數列，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，质数序列中长度为$k$的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

外部链接

• MathWorld news article on proof Template:Wayback
• Primes in Arithmetic Progression Records Template:Wayback