根資料

在數學的代數群領域中，根資料（原文為法文donnée radicielle）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比根系更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

定義

根資料是一組資料$(X,\mathrm{\Phi },X^{\vee },{\mathrm{\Phi }}^{\vee })$，其中：

• $X,X^{\vee }$是有限秩自由阿貝爾群，其間有一個配對$⟨,⟩:X\times X^{\vee }\to 𝐙$使兩者互為對偶。
• $\mathrm{\Phi }$是$X$的有限子集，${\mathrm{\Phi }}^{\vee }$是$X^{\vee }$的有限子集，並存在其間的雙射$\alpha \mapsto {\alpha }^{\vee }$。
• 對任意$\alpha \in \mathrm{\Phi }$，有$⟨\alpha ,{\alpha }^{\vee }⟩=2$。
• 對任意$\alpha \in \mathrm{\Phi }$，根鏡射$x\mapsto x-⟨x,{\alpha }^{\vee }⟩\alpha$導出根資料的自同構（換言之：它將$\mathrm{\Phi }$一一映至$\mathrm{\Phi }$，而在$X^{\vee }$上導出的對偶映射則將${\mathrm{\Phi }}^{\vee }$一一映至${\mathrm{\Phi }}^{\vee }$）。
• 類似地，對任意${\alpha }^{\vee }\in {\mathrm{\Phi }}^{\vee }$，餘根鏡射$u\mapsto u-⟨\alpha ,u⟩{\alpha }^{\vee }$導出根資料的自同構。

$\mathrm{\Phi }$的元素稱作該根資料的根，${\mathrm{\Phi }}^{\vee }$的元素稱為餘根。

若$\mathrm{\Phi }$不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為既約的。

設$X_0:=({\mathrm{\Phi }}^{\vee }{)}^{\perp }$。若$X_0=\{0\}$，稱此根資料為半單的，

從根資料到根系

對於根資料$(X,\mathrm{\Phi },X^{\vee },{\mathrm{\Phi }}^{\vee })$，取$Q$為$\mathrm{\Phi }$在$X$中生成的子群，並設$V:=Q{\otimes }_{\mathbb{Z}}ℝ$；利用對偶性，同樣可定義$V^{\vee }$。可證明$X_0\cap Q=\{0\}$，$X_0+Q$在$X$中的指數為有限的；因此$V^{\vee }$可視為$V$的對偶空間。可證明$(V,\mathrm{\Phi })$成為一個根系。

與約化代數群的關係

設$G$是域$K$上的約化代數群，並具有在$K$上分裂的極大環面$T$。定義相應的根資料$\mathrm{\Phi }(T,B)=(X,\mathrm{\Delta },X_{*},{\mathrm{\Delta }}^{\vee })$為

• $X^{*}:=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T,{𝔾}_m)$（極大環面的特徵標）
• $X_{*}:=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝔾}_m,T)$（極大環面的餘特徵標，或者說是其中的單參數子群）
• $\mathrm{\Delta }$是資料$(G,T)$的根。
• ${\mathrm{\Delta }}^{\vee }$是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之，給定任一組根資料，存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確，因為它不僅刻劃了群的李代數結構，還刻劃了群的中心。

對偶性

給定任一根資料$(X,\mathrm{\Psi },X^{\vee },{\mathrm{\Psi }}^{\vee })$，藉著將$X,X^{\vee }$對換，將$\mathrm{\Psi },{\mathrm{\Psi }}^{\vee }$對換，可以得到新的根資料，稱為其對偶。

若$G$是代數封閉域$K$上的連通、約化代數群，則根資料的對偶決定了複數域 $ℂ$上唯一的連通、約化、分裂代數群^LG，稱為$G$的郎蘭茲對偶群。

文獻

• M. Demazure, Exp. XXI in SGA 3 vol 3 Template:Wayback
• T. A. Springer, Reductive groups Template:Wayback，in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 Template:Wayback ISBN 0-8218-3347-2