柯西稠密判定法

在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。

一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 $f(n)$所对应的级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series）$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$ 收敛。 且此极限（如果存在）满足以下不等式：

$0\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le +\mathrm{\infty }$

换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。

推导

要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质（单调递减）。

$\begin{array}{ccccccccc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)& =& f(1)& +& f(2)+f(3)& +& f(4)+f(5)+f(6)+f(7)& +& \cdots \\ & =& f(1)& +& (f(2)+f(3))& +& (f(4)+f(5)+f(6)+f(7))& +& \cdots \\ & \le & f(1)& +& (f(2)+f(2))& +& (f(4)+f(4)+f(4)+f(4))& +& \cdots \\ & =& f(1)& +& 2f(2)& +& 4f(4)& +& \cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\end{array}$

相似地，第二个不等式也需要我们重新组合和替换。

$\begin{array}{ccc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)& =& f(1)+(f(2)+f(2))+(f(4)+f(4)+f(4)+f(4))+\cdots \\ & =& (f(1)+f(2))+(f(2)+f(4)+f(4)+f(4))+\cdots \\ & \le & (f(1)+f(1))+(f(2)+f(2)+f(3)+f(3))+\cdots =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\end{array}$

註釋

• Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. Template:ISBN.

外部連結

• Cauchy condensation test proof Template:Wayback