极值点

举例来说，上述未归一化和归一化的sinc函数的$\mathrm{argmax}$都是{0}，因为两者都在$x=0$时取得全局最大值1.

未归一化sinc函数（红）的arg min 约为{-4.49, 4.49}，因为在$x=\pm 4.49$处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的arg min约为{−1.43, 1.43}，因为它们的全局最小值在$x=\pm 1.43$处，尽管最小值相同。

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

定义

给定任意集合X、全序集Y与函数$f:X\to Y$，则某子集$S\subseteq X$上的$\mathrm{argmax}$定义为

${\mathrm{argmax}}_{S}f:=\underset{x\in S}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x):=\{x\in S:f(s)\le f(x),\mathrm{\forall }s\in S\}.$

若$S=X$或S在语境中明确，则通常省略S，如$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x):=\{x:f(s)\le f(x),\mathrm{\forall }s\in X\}.$也就是说，$\mathrm{argmax}$是点x的集合，使$f(x)$到达函数最大值（若存在）。$\mathrm{Argmax}$可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中，$Y=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]=ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$（是广义实数）的情形时的定义略有不同。Template:Sfn这时，若f等同于S上的$\mathrm{\infty }$，则${\mathrm{argmax}}_{S}f:=\varnothing$（即${\mathrm{argmax}}_S\mathrm{\infty }:=\varnothing$），否则${\mathrm{argmax}}_{S}f$定义如上，这时${\mathrm{argmax}}_{S}f$也可以写成

${\mathrm{argmax}}_{S}f:=\{x\in S:f(x)=\sup {}_{S}f\}$

这里要强调的是，这个涉及$\sup {}_{S}f$的等式只有当f在S上不等同于$\mathrm{\infty }$时才成立。Template:Sfn

Arg min

$\mathrm{argmin}$（或$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$）表示极小值点，定义与之类似。例如

$\underset{x\in S}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(x):=\{x\in S:f(s)\ge f(x)\text{ for all }s\in S\}$

是使函数值$f(x)$取得极小值的点x。它是$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}$的补算子。

在$Y=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]=ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$（是广义实数）的情形时，若f在S上等同于$-\mathrm{\infty }$，则${\mathrm{argmin}}_{S}f:=\varnothing$（即${\mathrm{argmin}}_S-\mathrm{\infty }:=\varnothing$），否则${\mathrm{argmin}}_{S}f$定义如上，这时它也满足

${\mathrm{argmin}}_{S}f:=\{x\in S:f(x)=\inf {}_{S}f\}.$Template:Sfn

例子与性质

例如，若$f(x)=1-|x|$，则f只有在$x=0$这一点上取最大值1。因此

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(1-|x|)=\{0\}.$

$\mathrm{argmax}$算子与$\max$不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

$\underset{x}{\max }f(x)$ is the element in $\{f(x):f(s)\le f(x)\text{ for all }s\in S\}.$

max可以是空集（这时极大值未定义），这与$\mathrm{argmax}$相同；不同的是$\max$可能不含多个元素。例如，取$f(x)=4x^2-x^4,$则$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(4x^2-x^4)=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\},$但$\underset{x}{\max }(4x^2-x^4)=\{4\}$因为函数在$\mathrm{argmax}$的每个元素上都取相同的值。

等价地，若M是f的极大值，则$\mathrm{argmax}$是极大值的水平集：

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x)=\{x:f(x)=M\}=:f^{-1}(M).$

可以将其重排，得到简单的等式

$f(\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x))=\underset{x}{\max }f(x).$

若极大值点只有一个，那么$\mathrm{argmax}$应被视为一个点，而非点集。例如

$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(x(10-x))=5$

（而非单元集$\{5\}$），因为$x(10-x)$的极大值25仅在$x=5$时取到。而若在多个点上都取得极大值，$\mathrm{argmax}$就应被视为点集。例如

$\underset{x\in [0,4\pi ]}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\cos (x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

因为maximum value of $\cos x$的极大值1在$x=0,2\pi ,4\pi$时取到。在整条实数线上

$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\cos (x)=\{2k\pi :k\in \mathbb{Z}\},$因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此$\mathrm{argmax}$有时是空集。例如$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{x}^3=\varnothing$，因为$x^3$在实数线上无界。再举个例子，$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\arctan (x)=\varnothing$，虽然$\arctan$有界（$\pm \pi /2$），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的$\mathrm{argmax}$。

另见

• 函数的自变量
• 极值
• 众数 (数学)
• 最优化
• 核 (线性算子)

参考文献

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外部链接

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