条件独立

Template:Expand language Template:NoteTA Template:Probability fundamentals 在概率论和統計學中，两事件R 和B 在给定的另一事件Y 发生时条件独立，類似於統計獨立性，就是指当事件Y 发生时，R 发生与否和B 发生与否就条件概率分布而言是独立的。换句话讲，R 和B 在给定Y 发生时条件独立，当且仅当已知Y 发生时，知道R 发生与否无助于知道B 发生与否，同样知道B 发生与否也无助于知道R 发生与否。

定義

R和B在给定Y发生时条件独立，用概率论的标准记号表示为

\Pr (R \cap B ∣ Y) = \Pr (R ∣ Y) \Pr (B ∣ Y)

也可以等价地表示为

\Pr (R ∣ B \cap Y) = \Pr (R ∣ Y) .

因为当事件Y发生时，R发生与否和B发生与否就条件概率分布而言是独立的。

两个随机变量X和Y在给定第三个随机变量Z的情况下条件独立当且仅当它们在给定Z时的条件概率分布互相独立，也就是说，给定Z的任一值，X的概率分布和Y的值无关，Y的概率分布也和X的值无关。

法则

從基本定義可導出一套描述條件獨立的重要法则。^[1]^[2]

因這些推论在任何機率空間中都成立，因此也对所有变量关于另一变量的条件概率分布成立，只需考慮相应子空间即可。譬如說 $X ⊥ ⊥ Y \Rightarrow Y ⊥ ⊥ X$ 也就意味着 $X ⊥ ⊥ Y ∣ K \Rightarrow Y ⊥ ⊥ X ∣ K$ 。

注：位於算式下方的逗號意为“和”。

對稱性

X ⊥ ⊥ Y \Rightarrow Y ⊥ ⊥ X

分解

X ⊥ ⊥ A, B \Rightarrow and {\begin{matrix} X ⊥ ⊥ A \\ X ⊥ ⊥ B \end{matrix}

證明：

$p_{X, A, B} (x, a, b) = p_{X} (x) p_{A, B} (a, b)$ ( $X ⊥ ⊥ A, B$ 的定义)
$\int_{B} p_{X, A, B} (x, a, b) = \int_{B} p_{X} (x) p_{A, B} (a, b)$ (对B积分以消去B)
$p_{X, A} (x, a) = p_{X} (x) p_{A} (a)$

同理可证X和B條件獨立。

微弱的聯合

X ⊥ ⊥ A, B \Rightarrow and {\begin{matrix} X ⊥ ⊥ A ∣ B \\ X ⊥ ⊥ B ∣ A \end{matrix}

證明：

藉由定義 $\Pr (X) = \Pr (X ∣ A, B)$
由於分解的屬性 $X ⊥ ⊥ B$ , $\Pr (X) = \Pr (X ∣ B)$
結合兩個等式得 $\Pr (X ∣ B) = \Pr (X ∣ A, B)$ ，其中確認 $X ⊥ ⊥ A ∣ B$ 第二個條件可以類似地被證明。

註釋

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參考資料

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參見

条件期望

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↑ Template:Cite journal
↑ J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press

[2] Template:Cite journal

[pearl:2000-3] J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press

[註 1]

[1]

[2]

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