李亚普诺夫指数

在数学领域中，李亚普诺夫指数（Template:Lang）或李亚普诺夫特征指数（Template:Lang）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔$\delta {𝐙}_0$的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理）

$|\delta 𝐙(t)|\approx e^{\lambda t}|\delta {𝐙}_0|$

其中$\lambda$即为李亚普诺夫指数。

当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（Template:Lang），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Template:Lang，简称Template:Lang），因为它决定了动力系统的可预测性。正的Template:Lang通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了Template:Lang所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。

李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。

最大李亚普诺夫指数

最大李亚普诺夫指数定義為

$\lambda =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\delta {𝐙}_0\to 0}{\lim }\frac{1}{t}\ln \frac{|\delta 𝐙(t)|}{|\delta {𝐙}_0|}.$

極限$\delta {𝐙}_0\to 0$確保任何時間線性近似的可行性。

對離散時間系統（映射或迭代）$x_{n+1}=f(x_n)$和以$x_0$為起始的軌跡，上式可以轉換成

$\lambda (x_0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f^{\prime }(x_i)|.$

参考文献

• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. and Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005 – textbook about chaos available under Free Documentation License

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