札克变换

在数学中，札克变换 （英文：Zak Transform，也称盖尔范德映射）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。

札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。

连续时间札克变换：定义

在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设$f(t)$ 为实变量t的函数, $f(t)$的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是t ，另一个变量用w表示，可由如下多种方式定义：

定义1

设a为大于0的常数，$f(t)$的连续时间札克变换可定义如下：

$Z_a[f](t,w)=\sqrt{a}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(at+ak)e^{-2\pi kwi}$

定义2

在定义1中，有时取a = 1。 在这种情况下，$f(t)$的连续时间札克变换可以简化为：

$Z[f](t,w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+k)e^{-2\pi kwi}$

定义3

有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， $f(t)$的连续时间札克变换为：

$Z[f](t,\nu )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+k)e^{-k\nu i}$

定义4

设T为为大于0的常数。 $f(t)$的连续时间札克变换也可由下式定义：

$Z_T[f](t,w)=\sqrt{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}$

此时，t与w满足：$0⩽t⩽T$, $0⩽w⩽\frac{1}{T}$

示例

试求如下函数的札克变换：

$\varphi (t)=\{\begin{array}{cc}1,& 0\le t<1\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

解：

$Z[\varphi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}$

其中$\lceil -t\rceil$表示不小于$-t$的最小整数（ceil函数）。

札克变换的性质

以下讨论中的札克变换均采用定义二：

1.线性

设a和b为任意复数，则：

$Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)$

2.周期性

$Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)$

3.准周期性

$Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)$

4.共轭性

$Z[\overline{f}](t,w)=\overline{Z[f]}(t,-w)$

5.对偶性

若$f(t)$是偶函数，则：$Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)$

若$f(t)$是奇函数，则：$Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)$

6.卷积性

令$\star$表示对变量t的卷积：

$Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)$

逆变换公式

给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：

$f(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}Z[f](t,w)dw.$

离散札克变换：定义

设$f(n)$是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足$n\in \mathbb{Z}$ 。与连续时间札克变换相同，$f(n)$的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是$n$ ，另一个变量是一个实数，表示为$w$ ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：

定义

函数的离散札克变换$f(n)$，记为$Z[f]$，由下式定义，其中$n$是一个整数：

$Z[f](n,w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n+k)e^{-2\pi kwi}.$

逆变换公式

给定函数的离散札克变换$f(n)$ ，原函数可用下式计算：

$f(n)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}Z[f](n,w)dw.$

应用

札克变换在物理学中的量子场论、 电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。